Rysunek:

Wiemy, że:

$P_{ABC}=8$

$\sin \alpha =\frac{2}{3}$

Chcemy obliczyć $\left|AB\right|$ i $\left|PB\right|$.

---

Spójrzmy na trójkąt $BPC$.

Zauważmy, że jego pole możemy zapisać na dwa sposoby:

• ze wzoru na pole trójkąta:

$P_{BPC}=\frac{1}{2}\cdot \left|PB\right|\cdot \left|PC\right|\cdot \sin \alpha =\frac{1}{{\cancel{2}}_1}\cdot \left|PB\right|\cdot 4\cdot \frac{{\cancel{2}}^1}{3}=\frac{4}{3}\left|PB\right|$

• jako sumę pól dwóch trójkątów (korzystając również ze wzoru na pole trójkąta):

$P_{BPC}=P_{ABC}+P_{APC}=8+\frac{1}{2}\cdot \left|PA\right|\cdot \left|PC\right|\cdot \sin \alpha =8+\frac{1}{{\cancel{2}}_1}\cdot \left|PA\right|\cdot 4\cdot \frac{{\cancel{2}}^1}{3}=8+\frac{4}{3}\left|PA\right|$

Otrzymujemy, że:

$\frac{4}{3}\left|PB\right|=8+\frac{4}{3}\left|PA\right|$

Zgodnie z rysunkiem:

$\left|PA\right|=\left|PB\right|-\left|AB\right|$

Zatem:

$\frac{4}{3}\left|PB\right|=8+\frac{4}{3}\left(\left|PB\right|-\left|AB\right|\right)$

$\frac{4}{3}\left|PB\right|=8+\frac{4}{3}\left|PB\right|-\frac{4}{3}\left|AB\right|$

$\frac{4}{3}\left|AB\right|=8+\frac{4}{3}\left|PB\right|-\frac{4}{3}\left|PB\right|$

$\frac{4}{3}\left|AB\right|=8|:\frac{4}{3}$

$\left|AB\right|={\cancel{8}}^2\cdot \frac{3}{{\cancel{4}}_1}$

$\boxed{\left|AB\right|=6}$

---

Korzystamy z twierdzenia o odcinkach siecznej i stycznej:

$\left|PA\right|\cdot \left|PB\right|={\left|PC\right|}^2$

$\left(\left|PB\right|-\left|AB\right|\right)\cdot \left|PB\right|=4^2$

$\left(\left|PB\right|-6\right)\cdot \left|PB\right|=16$

${\left|PB\right|}^2-6\left|PB\right|=16$

${\left|PB\right|}^2-6\left|PB\right|-16=0$

Podstawiamy:

$t=\left|PB\right|,t>0$

Mamy:

$t^2-6t-16=0$

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

$\Delta ={\left(-6\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-16\right)=36+64=100$

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{100}=10$

$t_1=\frac{-\left(-6\right)-10}{2\cdot 1}=\frac{6-10}{2}=\frac{-4}{2}=-2$

$t_2=\frac{-\left(-6\right)+10}{2\cdot 1}=\frac{6+10}{2}=\frac{16}{2}=8$

Otrzymujemy, że:

$t=8$

Czyli:

$\boxed{\left|PB\right|=8}$