Dana jest funkcja $f$ określona wzorem:

$f\left(x\right)=1+\frac{4}{{\left(x-1\right)}^2}+\frac{16}{{\left(x-1\right)}^4}+\dots$

Wyznaczmy najpierw dziedzinę tej funkcji.

• Mianownik ułamka musi być różny od zera, więc zakładamy, że:

$x-1\ne 0$

$x\ne 1$

• Zauważmy, że wyrażenie we wzorze funkcji $f$ jest szeregiem geometrycznym, gdzie:

$a_1=1$

$q=\frac{4}{{\left(x-1\right)}^2}$

Szereg geometryczny o ilorazie $q$ jest zbieżny, gdy:

$\left|q\right|<1$

Czyli:

$\left|\frac{4}{{\left(x-1\right)}^2}\right|<1$

Pamiętamy, że kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, a wyrażenie w mianowniku musi być różne od zera, więc mianownik jest dodatni.

$\frac{4}{{\left(x-1\right)}^2}<1|\cdot (x-1{)}^2$

$4<{\left(x-1\right)}^2$

Możemy zapisać, że:

${\left(x-1\right)}^2>4$

$x^2-2x+1>4$

$x^2-2x+1-4>0$

$x^2-2x-3>0$

Rozwiązujemy pomocniczo równanie:

$x^2-2x-3=0$

$\Delta ={\left(-2\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-3\right)=4+12=16$

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{16}=4$

$x_1=\frac{-\left(-2\right)-4}{2\cdot 1}=\frac{2-4}{2}=\frac{-2}{2}=-1$

$x_2=\frac{-\left(-2\right)+4}{2\cdot 1}=\frac{2+4}{2}=\frac{6}{2}=3$

Szkicujemy parabolę z ramionami do góry, bo współczynnik przy $x^2$ jest dodatni (rysunek poniżej):

Odczytujemy rozwiązanie nierówności:

$x\in \left(-\infty ;-1\right)\cup \left(3;\infty \right)$

Otrzymujemy, że:

$x\ne 1\text{i}x\in \left(-\infty ;-1\right)\cup \left(3;\infty \right)$

Czyli:

$D=\left(-\infty ;-1\right)\cup \left(3;\infty \right)$

Zauważmy, że najmniejszą liczbą całkowitą dodatnią, która należy do dziedziny funkcji $f$ jest $4$, czyli zgodnie z treścią zadania:

$k=4$

Chcemy więc obliczyć $f\left(4\right)$.

Korzystamy ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego i otrzymujemy, że:

$1+\frac{4}{{\left(x-1\right)}^2}+\frac{16}{{\left(x-1\right)}^4}+\dots =\frac{a_1}{1-q}=\frac{1}{1-\frac{4}{{\left(x-1\right)}^2}}$

Zatem:

$f\left(x\right)=\frac{1}{1-\frac{4}{{\left(x-1\right)}^2}}$

Stąd:

$f\left(4\right)=\frac{1}{1-\frac{4}{{\left(4-1\right)}^2}}=\frac{1}{1-\frac{4}{3^2}}=\frac{1}{1-\frac{4}{9}}=\frac{1}{\frac{5}{9}}=\boxed{\frac{9}{5}}$