Dany jest ciąg arytmetyczny $\left(a_n\right)$ o pierwszym wyrazie $a_1$ i różnicy $r\ne 0$.

Korzystamy ze wzoru na $n$-ty wyraz ciągu arytmetycznego:

$a_n=a_1+\left(n-1\right)r$

Zapisujemy czwarty i dwudziesty wyraz tego ciągu:

$a_4=a_1+3r$

$a_{20}=a_1+19r$

---

Wiemy, że poniższe liczby (zapisane w podanej kolejności) są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego:

$a_1,a_4,a_{20}$

Korzystamy z zależności dla sąsiednich wyrazów ciągu geometrycznego:

$a_4^2=a_1\cdot a_{20}$

Podstawiamy i otrzymujemy:

${\left(a_1+3r\right)}^2=a_1\cdot \left(a_1+19r\right)$

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy:

$a_1^2+2\cdot a_1\cdot 3r+{\left(3r\right)}^2=a_1^2+19a_{1}r$

$a_1^2+6a_{1}r+9r^2=a_1^2+19a_{1}r$

$a_1^2+6a_{1}r+9r^2-a_1^2-19a_{1}r=0$

$9r^2-13a_{1}r=0$

Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias:

$r\left(9r-13a_1\right)=0$

Stąd:

$r=0\text{lub}9r-13a_1=0$

Zauważmy, że z założenia $r\ne 0$.

Mamy więc:

$9r-13a_1=0$

$9r=13a_1|:9$

$r=\frac{13}{9}{a}_1$

---

Obliczamy iloraz danego ciągu geometrycznego:

$q=\frac{a_4}{a_1}=\frac{a_1+3r}{a_1}=\frac{a_1+{\cancel{3}}^1\cdot \frac{13}{{\cancel{9}}_3}{a}_1}{a_1}=\frac{a_1+\frac{13}{3}{a}_1}{a_1}=\frac{\frac{16}{3}{a}_1}{a_1}=\boxed{\frac{16}{3}}$