Dany jest rosnący ciąg arytmetyczny $\left(a_n\right)$ oraz ciąg geometryczny $\left(b_n\right)$.

Zgodnie z treścią zadania:

$b_1=a_2$

$b_2=a_9$

$b_3=a_{37}$

Ponadto:

$a_2+a_9+a_{37}=147$

---

Skoro $\left(a_n\right)$ jest rosnącym ciągiem arytmetycznym, to różnica jest dodatnia:

$r>0$

Korzystamy ze wzoru na $n$-ty wyraz ciągu arytmetycznego:

$a_n=a_1+\left(n-1\right)r$

Możemy zapisać, że:

$a_2=a_1+r$

$a_9=a_1+8r$

$a_{37}=a_1+36r$

Otrzymujemy:

$\underset{a_2}{\underbrace{a_1+r}}+\underset{a_9}{\underbrace{a_1+8r}}+\underset{a_{37}}{\underbrace{a_1+36r}}=147$

$3a_1+45r=147|:3$

$a_1+15r=49$

Stąd:

$a_1=49-15r$

Czyli:

$a_2=\underset{a_1}{\underbrace{49-15r}}+r=49-14r$

$a_9=\underset{a_1}{\underbrace{49-15r}}+8r=49-7r$

$a_{37}=\underset{a_1}{\underbrace{49-15r}}+36r=49+21r$

---

Spójrzmy teraz na wyrazy ciągu geometrycznego $\left(b_n\right)$.

Otrzymujemy, że:

$b_1=49-14r$

$b_2=49-7r$

$b_3=49+21r$

Korzystamy z zależności między sąsiednimi wyrazami ciągu geometrycznego (kwadrat środkowego wyrazu jest równy iloczynowi wyrazów sąsiednich):

$b_2^2=b_1\cdot b_3$

Podstawiamy i otrzymujemy równanie:

${\left(49-7r\right)}^2=\left(49-14r\right)\left(49+21r\right)$

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy:

$49^2-2\cdot 49\cdot 7r+{\left(7r\right)}^2=2401+1029r-686r-294r^2$

$2401-686r+49r^2=2401+343r-294r^2$

$2401-686r+49r^2-2401-343r+294r^2=0$

$343r^2-1029r=0|:343$

$r^2-3r=0$

Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias:

$r\left(r-3\right)=0$

Stąd:

$r=0\text{lub}r-3=0$

$r=0\text{lub}r=3$

Uwzględniamy założenie, że $r>0$, więc ostatecznie:

$r=3$

---

Wyznaczmy wzór ogólny ciągu geometrycznego $\left(b_n\right)$.

Korzystamy ze wzoru na $n$-ty wyraz ciągu geometrycznego:

$b_n=b_1\cdot q^{n-1}$

Obliczamy:

$b_1=49-14r=49-14\cdot 3=49-42=7$

$b_2=49-7r=49-7\cdot 3=49-21=28$

Zauważmy, że iloraz tego ciągu jest równy:

$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{28}{7}=4$

Podstawiamy i otrzymujemy, że:

$\boxed{b_n=7\cdot 4^{n-1}}$