Dany jest ciąg arytmetyczny $\left(a_n\right)$ o różnicy $r$.

Zgodnie z treścią zadania:

$S_{25}=a_{13}$

Chcemy obliczyć $\frac{a_1}{r}$ oraz $a_{13}$.

---

Korzystamy ze wzoru na $n$-ty wyraz ciągu arytmetycznego:

$a_n=a_1+\left(n-1\right)r$

Stąd:

$a_{13}=a_1+\left(13-1\right)r=a_1+12r$

---

Korzystamy ze wzoru na sumę początkowych $n$ wyrazów ciągu arytmetycznego:

$S_n=\frac{2a_1+\left(n-1\right)r}{2}\cdot n$

Otrzymujemy, że:

$S_{25}=\frac{2a_1+\left(25-1\right)r}{2}\cdot 25=\frac{2a_1+24r}{2}\cdot 25=\frac{{\cancel{2}}^1\left(a_1+12r\right)}{{\cancel{2}}_1}\cdot 25=\underset{a_{13}}{\underbrace{\left(a_1+12r\right)}}\cdot 25=25a_{13}$

---

Wiemy, że:

$S_{25}=a_{13}$

Zatem:

$25a_{13}=a_{13}$

$25a_{13}-a_{13}=0$

$24a_{13}=0|:24$

$\boxed{a_{13}=0}$

---

Możemy więc zapisać, że:

$a_1+12r=0$

Zakładamy, że $a_1$ i $r$ są liczbami różnymi od zera.

Wtedy:

$a_1=-12r|:r$

$\boxed{\frac{a_1}{r}=-12}$