Obliczmy najpierw $a$ i $b$:

$a={\log }_{\sqrt{3}}\left({\log }_{\frac{1}{3}}\frac{1}{27}\right)={\log }_{\sqrt{3}}3=2$

$b={\log }_{2}3\cdot {\log }_{3}8={\log }_{2}3\cdot \frac{{\log }_{2}8}{{\log }_{2}3}={\log }_{2}8=3$

---

Otrzymujemy, że asymptotami wykresu funkcji $f$ są proste:

$x=2$

$y=3$

---

Zauważmy, że asymptotami hiperboli o równaniu $y=\frac{3}{2x}$ są proste:

$x=0$

$y=0$

---

Zatem wykres funkcji $f$ otrzymano przez przesunięcie hiperboli o równaniu $y=\frac{3}{2x}$ o wektor $\left[2,3\right]$.

Możemy więc zapisać, że:

$f\left(x\right)=\frac{3}{2\left(x-2\right)}+3$

$f\left(x\right)=\frac{3}{2\left(x-2\right)}+\frac{3\cdot 2\left(x-2\right)}{2\left(x-2\right)}$

$f\left(x\right)=\frac{3+6\left(x-2\right)}{2\left(x-2\right)}$

$f\left(x\right)=\frac{3+6x-12}{2\left(x-2\right)}$

$\boxed{f\left(x\right)=\frac{6x-9}{2\left(x-2\right)}}$

---

Wyznaczamy miejsce zerowe funkcji $f$:

$f\left(x\right)=0$

$\frac{6x-9}{2\left(x-2\right)}=0$

$6x-9=0$

$6x=9|:6$

$x=\frac{9}{6}$

$\boxed{x=\frac{3}{2}}$