Zapisz konieczne założenia i wykonaj...- Zadanie 25: Nowa Teraz matura. Zbiór zadań. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Mamy:

$\frac{1}{2 x} - \frac{3}{8 x}$

Pamiętamy, że mianownik musi być różny od zera, więc:

$2 x \neq = 0 x \neq = 0 i 8 x \neq = 0 x \neq = 0$

Zatem:

$x \in R ∖ {0}$

Aby wykonać odejmowanie, sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika:

$\frac{1}{2 x} - \frac{3}{8 x} = \frac{1 \cdot 4}{2 x \cdot 4} - \frac{3}{8 x} = \frac{4}{8 x} - \frac{3}{8 x} = \frac{1}{8 x}$

Mamy:

$\frac{3}{x} + \frac{6}{x - 2}$

Pamiętamy, że mianownik musi być różny od zera, więc:

$x \neq = 0 i x - 2 \neq = 0 x \neq = 2$

Zatem:

$x \in R ∖ {0, 2}$

Aby wykonać dodawanie, sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika:

$\frac{3}{x} + \frac{6}{x - 2} = \frac{3 \cdot ( x - 2 )}{x \cdot ( x - 2 )} + \frac{6 \cdot x}{( x - 2 ) \cdot x} = \frac{3 x - 6}{x ^{2} - 2 x} + \frac{6 x}{x ^{2} - 2 x} = \frac{3 x - 6 + 6 x}{x ^{2} - 2 x} = \frac{9 x - 6}{x ^{2} - 2 x}$

Mamy:

$\frac{1}{x - 4} + \frac{1}{x + 4}$

Pamiętamy, że mianownik musi być różny od zera, więc:

$x - 4 \neq = 0 x \neq = 4 i x + 4 \neq = 0 x \neq = - 4$

Zatem:

$x \in R ∖ {- 4, 4}$

Aby wykonać dodawanie, sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika:

$\frac{1}{x - 4} + \frac{1}{x + 4} = \frac{1 \cdot ( x + 4 )}{( x - 4 ) \cdot ( x + 4 )} + \frac{( x - 4 ) \cdot 1}{( x - 4 ) \cdot ( x + 4 )} =$

W mianowniku korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów:

$= \frac{x + 4}{x ^{2} - 16} + \frac{x - 4}{x ^{2} - 16} = \frac{x + 4 + x - 4}{x ^{2} - 16} = \frac{2 x}{x ^{2} - 16}$

Mamy:

$\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x + 3}$

Pamiętamy, że mianownik musi być różny od zera, więc:

$x - 1 \neq = 0 x \neq = 1 i x + 3 \neq = 0 x \neq = - 3$

Zatem:

$x \in R ∖ {- 3, 1}$

Aby wykonać dodawanie, sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika:

$\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x + 3} = \frac{1 \cdot ( x + 3 )}{( x - 1 ) \cdot ( x + 3 )} + \frac{( x - 1 ) \cdot 1}{( x - 1 ) \cdot ( x + 3 )} = \frac{x + 3}{( x - 1 ) ( x + 3 )} + \frac{x - 1}{( x - 1 ) ( x + 3 )} =$

$= \frac{x + 3 + x - 1}{( x - 1 ) ( x + 3 )} = \frac{2 x + 2}{x ^{2} + 3 x - x - 3} = \frac{2 x + 2}{x ^{2} + 2 x - 3}$

Mamy:

$\frac{5}{x + 3} - \frac{2}{x + 1}$

Pamiętamy, że mianownik musi być różny od zera, więc:

$x + 3 \neq = 0 x \neq = - 3 i x + 1 \neq = 0 x \neq = - 1$

Zatem:

$x \in R ∖ {- 3, - 1}$

Aby wykonać odejmowanie, sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika:

$\frac{5}{x + 3} - \frac{2}{x + 1} = \frac{5 \cdot ( x + 1 )}{( x + 3 ) \cdot ( x + 1 )} - \frac{2 \cdot ( x + 3 )}{( x + 3 ) \cdot ( x + 1 )} = \frac{5 ( x + 1 )}{( x + 3 ) ( x + 1 )} - \frac{2 ( x + 3 )}{( x + 3 ) ( x + 1 )} =$

$= \frac{5 x + 5}{( x + 3 ) ( x + 1 )} - \frac{2 x + 6}{( x + 3 ) ( x + 1 )} = \frac{5 x + 5 - ( 2 x + 6 )}{( x + 3 ) ( x + 1 )} = \frac{5 x + 5 - 2 x - 6}{x ^{2} + x + 3 x + 3} = \frac{3 x - 1}{x ^{2} + 4 x + 3}$

Mamy:

$\frac{x - 2}{x - 1} + \frac{x - 3}{1 - x}$

Pamiętamy, że mianownik musi być różny od zera, więc:

$x - 1 \neq = 0 x \neq = 1 i 1 - x \neq = 0 - x \neq = - 1 x \neq = 1$

Zatem:

$x \in R ∖ {1}$

Aby wykonać dodawanie, sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika:

$\frac{x - 2}{x - 1} + \frac{x - 3}{1 - x} = \frac{x - 2}{x - 1} + \frac{( x - 3 ) \cdot ( - 1 )}{( 1 - x ) \cdot ( - 1 )} = \frac{x - 2}{x - 1} + \frac{3 - x}{x - 1} = \frac{x - 2 + 3 - x}{x - 1} = \frac{1}{x - 1}$

Mamy:

$\frac{2 x + 1}{x + 5} + \frac{3 x}{x - 2}$

Pamiętamy, że mianownik musi być różny od zera, więc:

$x + 5 \neq = 0 x \neq = - 5 i x - 2 \neq = 0 x \neq = 2$

Zatem:

$x \in R ∖ {- 5, 2}$

Aby wykonać dodawanie, sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika:

$\frac{2 x + 1}{x + 5} + \frac{3 x}{x - 2} = \frac{( 2 x + 1 ) \cdot ( x - 2 )}{( x + 5 ) \cdot ( x - 2 )} + \frac{3 x \cdot ( x + 5 )}{( x + 5 ) \cdot ( x - 2 )} = \frac{( 2 x + 1 ) ( x - 2 ) + 3 x ( x + 5 )}{( x + 5 ) ( x - 2 )} =$

$= \frac{2 x ^{2} - 4 x + x - 2 + 3 x ^{2} + 15 x}{x ^{2} - 2 x + 5 x - 10} = \frac{5 x ^{2} + 12 x - 2}{x ^{2} + 3 x - 10}$

Mamy:

$\frac{1 - x}{x - 3} - \frac{1 + x}{x + 3}$

Pamiętamy, że mianownik musi być różny od zera, więc:

$x - 3 \neq = 0 x \neq = 3 i x + 3 \neq = 0 x \neq = - 3$

Zatem:

$x \in R ∖ {- 3, 3}$

Aby wykonać odejmowanie, sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika:

$\frac{1 - x}{x - 3} - \frac{1 + x}{x + 3} = \frac{( 1 - x ) \cdot ( x + 3 )}{( x - 3 ) \cdot ( x + 3 )} - \frac{( 1 + x ) \cdot ( x - 3 )}{( x - 3 ) \cdot ( x + 3 )} = \frac{( 1 - x ) ( x + 3 ) - ( 1 + x ) ( x - 3 )}{( x - 3 ) ( x + 3 )} =$

W mianowniku korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów:

$= \frac{x + 3 - x ^{2} - 3 x - ( x - 3 + x ^{2} - 3 x )}{x ^{2} - 9} = \frac{x + 3 - x ^{2} - 3 x - x + 3 - x ^{2} + 3 x}{x ^{2} - 9} = \frac{- 2 x ^{2} + 6}{x ^{2} - 9}$