a)

Wiemy, że:

$f\left(x\right)=\frac{2}{x}$

Wykres funkcji $g$ powstał przez przesunięcie wykresu funkcji $f$ o wektor $\left[1,2\right]$, więc:

$g\left(x\right)=\frac{2}{x-1}+2$

*Na podstawie powyższego wzoru możemy powiedzieć, że asymptotą pionową wykresu funkcji $g$ jest prosta $x=1$, a asymptotą poziomą wykresu funkcji $g$ jest prosta $y=2$.

$g\left(x\right)=\frac{2}{x-1}+\frac{2\left(x-1\right)}{x-1}$

$g\left(x\right)=\frac{2+2\left(x-1\right)}{x-1}$

$g\left(x\right)=\frac{2+2x-2}{x-1}$

$\boxed{g\left(x\right)=\frac{2x}{x-1}}$

Wyznaczamy dziedzinę funkcji $g$:

$\boxed{D=\mathbb{R}\setminus \left\{1\right\}}$

Wyznaczamy zbiór wartości funkcji $g$:

$\boxed{g\left(D\right)=\mathbb{R}\setminus \left\{2\right\}}$

Wykresem funkcji $g$ jest hiperbola.

Możemy na przykład zauważyć, że:

• dla $x=2$:

$g\left(2\right)=\frac{2\cdot 2}{2-1}=\frac{4}{1}=4$

• dla $x=3$:

$g\left(3\right)=\frac{2\cdot 3}{3-1}=\frac{6}{2}=3$

• dla $x=\frac{3}{2}$:

$g\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{2\cdot \frac{3}{2}}{\frac{3}{2}-1}=\frac{3}{\frac{1}{2}}=3\cdot 2=6$

• dla $x=0$:

$g\left(0\right)=\frac{2\cdot 0}{0-1}=\frac{0}{-1}=0$

• dla $x=-1$:

$g\left(-1\right)=\frac{2\cdot \left(-1\right)}{-1-1}=\frac{-2}{-2}=1$

• dla $x=\frac{1}{2}$:

$g\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{2\cdot \frac{1}{2}}{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{-\frac{1}{2}}=1\cdot \left(-2\right)=-2$

Do wykresu funkcji $g$ należą między innymi punkty:

$\left(2,4\right)$, $\left(3,3\right)$, $\left(\frac{3}{2},6\right)$, $\left(0,0\right)$, $\left(-1,1\right)$, $\left(\frac{1}{2},-2\right)$

Rysunek:

Odczytajmy argumenty, dla których wartości funkcji należą do przedziału $\left(0,2\right)$.

Rysunek pomocniczy:

Otrzymujemy, że:

$\boxed{g\left(x\right)\in \left(0;2\right)\text{dla}x\in \left(-\infty ;0\right)}$

---

b)

Wiemy, że:

$f\left(x\right)=\frac{4}{x}$

Wykres funkcji $g$ powstał przez przesunięcie wykresu funkcji $f$ o wektor $\left[0,-2\right]$, więc:

$g\left(x\right)=\frac{4}{x-0}-2$

$g\left(x\right)=\frac{4}{x}-2$

*Na podstawie powyższego wzoru możemy powiedzieć, że asymptotą pionową wykresu funkcji $g$ jest prosta $x=0$, a asymptotą poziomą wykresu funkcji $g$ jest prosta $y=-2$.

$g\left(x\right)=\frac{4}{x}-\frac{2x}{x}$

$g\left(x\right)=\frac{4-2x}{x}$

$\boxed{g\left(x\right)=\frac{-2x+4}{x}}$

Wyznaczamy dziedzinę funkcji $g$:

$\boxed{D=\mathbb{R}\setminus \left\{0\right\}}$

Wyznaczamy zbiór wartości funkcji $g$:

$\boxed{g\left(D\right)=\mathbb{R}\setminus \left\{-2\right\}}$

Wykresem funkcji $g$ jest hiperbola.

Możemy na przykład zauważyć, że:

• dla $x=1$:

$g\left(1\right)=\frac{4}{1}-2=4-2=2$

• dla $x=2$:

$g\left(2\right)=\frac{4}{2}-2=2-2=0$

• dla $x=4$:

$g\left(4\right)=\frac{4}{4}-2=1-2=-1$

• dla $x=-1$:

$g\left(-1\right)=\frac{4}{-1}-2=-4-2=-6$

• dla $x=-2$:

$g\left(-2\right)=\frac{4}{-2}-2=-2-2=-4$

• dla $x=-4$:

$g\left(-4\right)=\frac{4}{-4}-2=-1-2=-3$

Do wykresu funkcji $g$ należą między innymi punkty:

$\left(1,2\right)$, $\left(2,0\right)$, $\left(4,-1\right)$, $\left(-1,-6\right)$, $\left(-2,-4\right)$, $\left(-4,-3\right)$

Rysunek:

Odczytajmy argumenty, dla których wartości funkcji należą do przedziału $\left(0;2\right)$.

Rysunek pomocniczy:

Otrzymujemy, że: 

$\boxed{g\left(x\right)\in \left(0;2\right)\text{dla}x\in \left(1;2\right)}$

---

c)

Wiemy, że:

$f\left(x\right)=-\frac{3}{x-1}$

Wykres funkcji $g$ powstał przez przesunięcie wykresu funkcji $f$ o wektor $\left[2,-1\right]$, więc:

$g\left(x\right)=-\frac{3}{x-2-1}+\left(-1\right)$

$g\left(x\right)=-\frac{3}{x-3}-1$

*Na podstawie powyższego wzoru możemy powiedzieć, że asymptotą pionową wykresu funkcji $g$ jest prosta $x=3$, a asymptotą poziomą wykresu funkcji $g$ jest prosta $y=-1$.

$g\left(x\right)=-\frac{3}{x-3}-\frac{x-3}{x-3}$

$g\left(x\right)=\frac{-3-\left(x-3\right)}{x-3}$

$g\left(x\right)=\frac{-3-x+3}{x-3}$

$\boxed{g\left(x\right)=\frac{-x}{x-3}}$

Wyznaczamy dziedzinę funkcji $g$:

$\boxed{D=\mathbb{R}\setminus \left\{3\right\}}$

Wyznaczamy zbiór wartości funkcji $g$:

$\boxed{g\left(D\right)=\mathbb{R}\setminus \left\{-1\right\}}$

Wykresem funkcji $g$ jest hiperbola.

Możemy na przykład zauważyć, że:

• dla $x=4$:

$g\left(4\right)=\frac{-4}{4-3}=\frac{-4}{1}=-4$

• dla $x=6$:

$g\left(6\right)=\frac{-6}{6-3}=\frac{-6}{3}=-2$

• dla $x=\frac{7}{2}$:

$g\left(\frac{7}{2}\right)=\frac{-\frac{7}{2}}{\frac{7}{2}-3}=\frac{-\frac{7}{2}}{\frac{7}{2}-\frac{6}{2}}=\frac{-\frac{7}{2}}{\frac{1}{2}}=-\frac{7}{2}\cdot 2=-7$

• dla $x=2$:

$g\left(2\right)=\frac{-2}{2-3}=\frac{-2}{-1}=2$

• dla $x=0$:

$g\left(0\right)=\frac{-0}{0-3}=\frac{0}{-3}=0$

• dla $x=\frac{5}{2}$:

$g\left(\frac{5}{2}\right)=\frac{-\frac{5}{2}}{\frac{5}{2}-3}=\frac{-\frac{5}{2}}{\frac{5}{2}-\frac{6}{2}}=\frac{-\frac{5}{2}}{-\frac{1}{2}}=-\frac{5}{2}\cdot \left(-2\right)=5$

Do wykresu funkcji $g$ należą między innymi punkty:

$\left(4,-4\right)$, $\left(6,-2\right)$, $\left(\frac{7}{2},-7\right)$, $\left(2,2\right)$, $\left(0,0\right)$, $\left(\frac{5}{2},5\right)$

Rysunek:

Odczytajmy argumenty, dla których wartości funkcji $g$ należą do przedziału $\left(0;2\right)$.

Rysunek pomocniczy:

Otrzymujemy, że:

$\boxed{g\left(x\right)\in \left(0;2\right)\text{dla}x\in \left(0;2\right)}$

---

d)

Wiemy, że:

$f\left(x\right)=\frac{-4}{2x-1}$

Wykres funkcji $g$ powstał przez przesunięcie wykresu funkcji $f$ o wektor $\left[-\frac{7}{2},2\right]$, więc:

$g\left(x\right)=\frac{-4}{2\left(x-\left(-\frac{7}{2}\right)\right)-1}+2$

$g\left(x\right)=\frac{-4}{2\left(x+\frac{7}{2}\right)-1}+2$

$g\left(x\right)=\frac{-4}{2x+7-1}+2$

$g\left(x\right)=\frac{-4}{2x+6}+2$

$g\left(x\right)=\frac{-2}{x+3}+2$

*Na podstawie powyższego wzoru możemy powiedzieć, że asymptotą pionową wykresu funkcji $g$ jest prosta $x=-3$, a asymptotą poziomą wykresu funkcji $g$ jest prosta $y=2$.

$g\left(x\right)=\frac{-2}{x+3}+\frac{2\left(x+3\right)}{x+3}$

$g\left(x\right)=\frac{-2+2\left(x+3\right)}{x+3}$

$g\left(x\right)=\frac{-2+2x+6}{x+3}$

$\boxed{g\left(x\right)=\frac{2x+4}{x+3}}$

Wyznaczamy dziedzinę funkcji $g$:

$\boxed{D=\mathbb{R}\setminus \left\{-3\right\}}$

Wyznaczamy zbiór wartości funkcji $g$:

$\boxed{g\left(D\right)=\mathbb{R}\setminus \left\{2\right\}}$

Wykresem funkcji $g$ jest hiperbola.

Możemy na przykład zauważyć, że:

• dla $x=-2$:

$g\left(-2\right)=\frac{2\cdot \left(-2\right)+4}{-2+3}=\frac{-4+4}{1}=\frac{0}{1}=0$

• dla $x=-1$:

$g\left(-1\right)=\frac{2\cdot \left(-1\right)+4}{-1+3}=\frac{-2+4}{2}=\frac{2}{2}=1$

• dla $x=-\frac{5}{2}$:

$g\left(-\frac{5}{2}\right)=\frac{2\cdot \left(-\frac{5}{2}\right)+4}{-\frac{5}{2}+3}=\frac{-5+4}{-\frac{5}{2}+\frac{6}{2}}=\frac{-1}{\frac{1}{2}}=-1\cdot 2=-2$

• dla $x=-4$:

$g\left(-4\right)=\frac{2\cdot \left(-4\right)+4}{-4+3}=\frac{-8+4}{-1}=\frac{-4}{-1}=4$

• dla $x=-5$:

$g\left(-5\right)=\frac{2\cdot \left(-5\right)+4}{-5+3}=\frac{-10+4}{-2}=\frac{-6}{-2}=3$

• dla $x=-\frac{7}{2}$:

$g\left(-\frac{7}{2}\right)=\frac{2\cdot \left(-\frac{7}{2}\right)+4}{-\frac{7}{2}+3}=\frac{-7+4}{-\frac{7}{2}+\frac{6}{2}}=\frac{-3}{-\frac{1}{2}}=-3\cdot \left(-2\right)=6$

Do wykresu funkcji $g$ należą między innymi punkty:

$\left(-2,0\right)$, $\left(-1,1\right)$, $\left(-\frac{5}{2},-2\right)$, $\left(-4,4\right)$, $\left(-5,3\right)$, $\left(-\frac{7}{2},6\right)$

Rysunek:

Odczytajmy argumenty, dla których wartości funkcji $g$ należą do przedziału $\left(0;2\right)$.

Rysunek pomocniczy:

Otrzymujemy, że:

$\boxed{g\left(x\right)\in \left(0;2\right)\text{dla}x\in \left(-2;\infty \right)}$