Na rysunku przedstawiono wykresy...- Zadanie 56: Nowa Teraz matura. Zbiór zadań. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Korzystamy z rysunku w książce.

Zauważmy, że wielomian $f$ ma dwa pierwiastki:

jednokrotny równy $- 3$ ,
dwukrotny większy od $0$ i mniejszy od $1$ (przyjmijmy, że jest on równy $b$ ):

$0 < b < 1$

Wzór wielomianu $f$ możemy zapisać w postaci:

$f (x) = a (x - (- 3)) (x - b)^{2}$

$f (x) = a (x + 3) (x - b)^{2}$

Zwróćmy uwagę, że $a \neq = 0$ .

Z treści zadania wiemy, że do wykresu wielomianu $f$ należy punkt o współrzędnych $(1, - 1)$ , czyli:

$f (1) = - 1$

$a (1 + 3) (1 - b)^{2} = - 1$

$a \cdot 4 \cdot (1 - b)^{2} = - 1 ∣ : 4$

$a (1 - b)^{2} = - \frac{1}{4}$

Z rysunku w książce wiemy, że do wykresu wielomianu $f$ należy punkt o współrzędnych $(0, - \frac{3}{4})$ , czyli:

$f (0) = - \frac{3}{4}$

$a (0 + 3) (0 - b)^{2} = - \frac{3}{4}$

$a \cdot 3 \cdot (- b)^{2} = - \frac{3}{4}$

$a \cdot 3 \cdot b^{2} = - \frac{3}{4} ∣ : 3$

$a b^{2} = - \frac{1}{4}$

Zauważmy, że skoro:

$a (1 - b)^{2} = - \frac{1}{4} i a b^{2} = - \frac{1}{4}$

To otrzymujemy, że:

$a (1 - b)^{2} = a b^{2} ∣ : a$

$(1 - b)^{2} = b^{2}$

$1 - 2 b + b^{2} = b^{2}$

$- 2 b + b^{2} - b^{2} = - 1$

$- 2 b = - 1 ∣ : (- 2)$

$b = \frac{1}{2}$

Aby obliczyć $a$ , do równania $a b^{2} = - \frac{1}{4}$ w miejsce $b$ podstawiamy $\frac{1}{2}$ :

$a \cdot (\frac{1}{2})^{2} = - \frac{1}{4}$

$a \cdot \frac{1}{4} = - \frac{1}{4} ∣ : \frac{1}{4}$

$a = - 1$

Skoro $a = - 1$ i $b = \frac{1}{2}$ , to:

$f (x) = - 1 \cdot (x + 3) (x - \frac{1}{2})^{2}$

$f (x) = - (x + 3) (x - \frac{1}{2})^{2}$

Rozwiązujemy nierówność:

$g (x) \geq f (x)$

$\frac{1}{4} (x + 3) (x - 2) \geq - (x + 3) (x - \frac{1}{2})^{2}$

$\frac{1}{4} (x + 3) (x - 2) + (x + 3) (x - \frac{1}{2})^{2} \geq 0$

$(x + 3) \cdot [\frac{1}{4} (x - 2) + (x - \frac{1}{2})^{2}] \geq 0$

$(x + 3) (\frac{1}{4} x - \frac{2}{4} + x^{2} - x + \frac{1}{4}) \geq 0$

$(x + 3) (x^{2} - \frac{3}{4} x - \frac{1}{4}) \geq 0$

Rozwiązujemy pomocniczo równanie:

$(x + 3) (x^{2} - \frac{3}{4} x - \frac{1}{4}) = 0$

$x + 3 = 0 x = - 3 lub x^{2} - \frac{3}{4} x - \frac{1}{4} = 0 Δ = (- \frac{3}{4})^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- \frac{1}{4}) = \frac{9}{16} + 1 = \frac{9}{16} + \frac{16}{16} = \frac{25}{16} Δ = \frac{25}{16} = \frac{5}{4} x_{1} = \frac{- ( - \frac{3}{4} ) - \frac{5}{4}}{2 \cdot 1} = \frac{\frac{3}{4} - \frac{5}{4}}{2} = \frac{- \frac{2}{4}}{2} = - \frac{2 ^{1}}{4} \cdot \frac{1}{2 _{1}} = - \frac{1}{4} x_{2} = \frac{- ( - \frac{3}{4} ) + \frac{5}{4}}{2 \cdot 1} = \frac{\frac{3}{4} + \frac{5}{4}}{2} = \frac{\frac{8}{4}}{2} = \frac{2}{2} = 1$