Dany jest wielomian:

$w\left(x,y\right)=x^{2}y+2x{y}^2+xy$

Możemy zauważyć, że:

$w\left(x,y\right)=xy\left(x+2y+1\right)$

Obliczamy jego wartość dla $x=\sqrt{2}+1$ oraz $y=\sqrt{2}-1$:

$w\left(\sqrt{2}+1,\sqrt{2}-1\right)=\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}-1\right)\left[\sqrt{2}+1+2\left(\sqrt{2}-1\right)+1\right]=$

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów:

$=\left[{\left(\sqrt{2}\right)}^2-1^2\right]\left(\sqrt{2}+1+2\sqrt{2}-2+1\right)=\left(2-1\right)\cdot 3\sqrt{2}=1\cdot 3\sqrt{2}=\boxed{3\sqrt{2}}$

---

Odp. A.