Dana jest funkcja $f$ określona wzorem:

$f\left(x\right)=\left|{\left(x-p\right)}^2+2p\right|$

Naszkicujmy wykres funkcji $f$ dla $p=-2$.

Do powyższego wzoru w miejsce $p$ podstawiamy $-2$:

$f\left(x\right)=\left|{\left(x-\left(-2\right)\right)}^2+2\cdot \left(-2\right)\right|$

$f\left(x\right)=\left|{\left(x+2\right)}^2-4\right|$

Wykres funkcji określonej powyższym wzorem powstaje przez przekształcenia wykresu funkcji $y=x^2$.

• Wykresem funkcji $y=x^2$ jest parabola przechodząca przez punkty:

$\left(-2,4\right)$, $\left(-1,1\right)$, $\left(0,0\right)$, $\left(1,1\right)$, $\left(2,4\right)$

Rysunek:

• Wykres funkcji $y={\left(x+2\right)}^2-4$ otrzymujemy przesuwając wykres funkcji $y=x^2$ o wektor $\left[-2,-4\right]$.

Rysunek:

• Wykres funkcji $y=\left|{\left(x+2\right)}^2-4\right|$ otrzymujemy pozostawiając bez zmian tę część wykresu $y={\left(x+2\right)}^2-4$, która znajduje się nad lub na osi $x$, a tę część wykresu, która znajduje się pod osią $x$ odbijając symetrycznie względem osi $x$.

Rysunek:

Ostatecznie:

---

Dana jest funkcja $f$ określona wzorem:

$f\left(x\right)=\left|{\left(x-p\right)}^2+2p\right|$

Wyznaczmy wartości parametru $p$, dla których równanie $f\left(x\right)=6$ ma dokładnie trzy rozwiązania.

Spójrzmy pomocniczo na wykres funkcji $f$ dla $p=-2$.

Rysunek:

W przypadku $p=-2$ równanie $f\left(x\right)=4$ ma dokładnie trzy rozwiązania.

Możemy zauważyć, że równanie $f\left(x\right)=6$ będzie miało dokładnie trzy rozwiązania, jeśli druga współrzędna wierzchołka paraboli $y={\left(x-p\right)}^2+2p$ będzie równa $-6$ (wtedy odbijając symetrycznie względem osi $x$ część wykresu znajdującą się pod osią $x$ wierzchołek paraboli przekształcimy na punkt o drugiej współrzędnej równej $6$).

Zatem:

$2p=-6|:2$

$\boxed{p=-3}$

Rysunek pomocniczy: