Założenia:

$x,y\in \mathbb{R}$

---

Teza:

$2x^2+2y^2-2xy+2x+6y+13>0$

---

Dowód:

Wiemy, że kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną.

Przekształcamy daną nierówność w sposób równoważny:

$2x^2+2y^2-2xy+2x+6y+13>0$

$x^2+x^2+y^2+y^2-2xy+2x+6y+13>0$

$x^2-2xy+y^2+x^2+y^2+2x+6y+13>0$

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy:

${\left(x-y\right)}^2+x^2+y^2+2x+6y+13>0$

${\left(x-y\right)}^2+x^2+2x+y^2+6y+13>0$

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy ${\left(a+b\right)}^2=a^2+2ab+b^2$:

$x^2+2x+1={\left(x+1\right)}^2$

$y^2+6y+9={\left(y+3\right)}^2$

Otrzymujemy:

${\left(x-y\right)}^2+\underbrace{x^2+2x+1}+\underbrace{y^2+6y+9}+3>0$

${\left(x-y\right)}^2+{\left(x+1\right)}^2+{\left(y+3\right)}^2+3>0$

Zauważmy, że:

${\left(x-y\right)}^2\ge 0$

${\left(x+1\right)}^2\ge 0$

${\left(y+3\right)}^2\ge 0$

$3>0$

Suma liczb nieujemnych i liczby dodatniej jest liczbą dodatnią:

$\underset{\ge 0}{\underbrace{{\left(x-y\right)}^2}}+\underset{\ge 0}{\underbrace{{\left(x+1\right)}^2}}+\underset{\ge 0}{\underbrace{{\left(y+3\right)}^2}}+\underset{>0}{\underbrace{3}}>0$

Zatem powyższa nierówność jest prawdziwa.

Co należało udowodnić.