Liczba jest podzielna przez $12$, gdy jest jednocześnie podzielna przez $3$ i $4$, bo:

• $12=3\cdot 4$
• $\text{NWD}\left(3,4\right)=1$

---

Liczba jest podzielna przez $3$, gdy suma jej cyfr jest podzielna przez $3$.

Obliczamy sumę cyfr liczby $2111111111111x2$:

$2+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+x+2=\underset{4}{\underbrace{2\cdot 2}}+\underset{12}{\underbrace{12\cdot 1}}+x=16+x$

Wiemy, że $x$ jest cyfrą, więc:

$x\in \left\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\right\}$

Możemy zapisać, że:

$0\le x\le 9|+16$

$16\le 16+x\le 25$

Liczby naturalne podzielne przez $3$, które są jednocześnie równe co najmniej $16$ i co najwyżej $25$, to:

$18,21,24$

Zatem:

$\begin{array}{ccccc}16+x=18& \text{lub}& 16+x=21& \text{lub}& 16+x=24\\ x=18-16& & x=21-16& & x=24-16\\ x=2& & x=5& & x=8\end{array}$

---

Liczba jest podzielna przez $4$, gdy dwie ostatnie cyfry tej liczby tworzą liczbę podzielną przez $4$.

Dwie ostatnie cyfry liczby $2111111111111x2$ tworzą liczbę $x2$.

Zauważmy, że:

• dla $x=2$:

Liczba $22$ nie jest podzielna przez $4$:

$22:4=5\text{r}2$

Odrzucamy ten przypadek.

• dla $x=5$:

Liczba $52$ jest podzielna przez $4$:

$52:4=13$

• dla $x=8$:

Liczba $82$ nie jest podzielna przez $4$:

$82:4=20\text{r}2$

Odrzucamy ten przypadek.

Szukaną cyfrą jest $5$.

---

Odp. B.