a)

Mamy:

$\{\begin{array}{l}{\left(x+2\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=25\\ y=7x-10\end{array}$

Rozwiązujemy układ równań metodą podstawiania.

Do pierwszego równania w miejsce $y$ podstawiamy $7x-10$ i obliczamy $x$:

${\left(x+2\right)}^2+{\left(7x-10-1\right)}^2=25$

${\left(x+2\right)}^2+{\left(7x-11\right)}^2=25$

$x^2+2\cdot x\cdot 2+2^2+{\left(7x\right)}^2-2\cdot 7x\cdot 11+11^2=25$

$x^2+4x+4+49x^2-154x+121=25$

$50x^2-150x+125=25$

$50x^2-150x+125-25=0$

$50x^2-150x+100=0|:50$

$x^2-3x+2=0$

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

$\Delta ={\left(-3\right)}^2-4\cdot 1\cdot 2=9-8=1$

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{1}=1$

$x_1=\frac{-\left(-3\right)-1}{2\cdot 1}=\frac{3-1}{2}=\frac{2}{2}=1$

$x_2=\frac{-\left(-3\right)+1}{2\cdot 1}=\frac{3+1}{2}=\frac{4}{2}=2$

Otrzymujemy, że:

• dla $x=1$:

$y=7x-10=7\cdot 1-10=7-10=-3$

• dla $x=2$:

$y=7x-10=7\cdot 2-10=14-10=4$

Zatem układ równań ma dwa rozwiązania:

$\boxed{\{\begin{array}{l}x=1\\ y=-3\end{array}\text{lub}\{\begin{array}{l}x=2\\ y=4\end{array}}$

---

Interpretacja geometryczna

Spójrzmy na pierwsze równanie układu:

${\left(x+2\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=25$

Zauważmy, że jest to równanie okręgu o środku w punkcie $\left(-2,1\right)$ i promieniu $5$.

Natomiast drugie równanie układu jest równaniem prostej:

$y=7x-10$

Skoro układ równań ma dwa rozwiązania, to okrąg i prosta mają dwa punkty wspólne.

Są nimi punkty $\left(1,-3\right)$ i $\left(2,4\right)$.

Rysunek pomocniczy:

---

---

b)

Mamy:

$\{\begin{array}{l}{\left(x+3\right)}^2+{\left(y+4\right)}^2=16\\ x-y-5=0\end{array}$

Rozwiązujemy układ równań metodą podstawiania.

Z drugiego równania wyznaczamy $y$:

$x-y-5=0$

$-y=-x+5|:(-1)$

$y=x-5$

Czyli:

$\{\begin{array}{l}{\left(x+3\right)}^2+{\left(y+4\right)}^2=16\\ y=x-5\end{array}$

Do pierwszego równania w miejsce $y$ podstawiamy $x-5$ i obliczamy $x$:

${\left(x+3\right)}^2+{\left(x-5+4\right)}^2=16$

${\left(x+3\right)}^2+{\left(x-1\right)}^2=16$

$x^2+2\cdot x\cdot 3+3^2+x^2-2\cdot x\cdot 1+1^2=16$

$x^2+6x+9+x^2-2x+1=16$

$2x^2+4x+10=16$

$2x^2+4x+10-16=0$

$2x^2+4x-6=0|:2$

$x^2+2x-3=0$

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

$\Delta =2^2-4\cdot 1\cdot \left(-3\right)=4+12=16$

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{16}=4$

$x_1=\frac{-2+4}{2\cdot 1}=\frac{2}{2}=1$

$x_2=\frac{-2-4}{2\cdot 1}=\frac{-6}{2}=-3$

Otrzymujemy, że:

• dla $x=1$:

$y=x-5=1-5=-4$

• dla $x=-3$:

$y=x-5=-3-5=-8$

Zatem układ równań ma dwa rozwiązania:

$\boxed{\{\begin{array}{l}x=1\\ y=-4\end{array}\text{lub}\{\begin{array}{l}x=-3\\ y=-8\end{array}}$

---

Interpretacja geometryczna

Spójrzmy na pierwsze równanie układu:

${\left(x+3\right)}^2+{\left(y+4\right)}^2=16$

Zauważmy, że jest to równanie okręgu o środku w punkcie $\left(-3,-4\right)$ i promieniu $4$.

Natomiast drugie równanie układu jest równaniem prostej:

$x-y-5=0$

Skoro układ równań ma dwa rozwiązania, to okrąg i prosta mają dwa punkty wspólne.

Są nimi punkty $\left(1,-4\right)$ i $\left(-3,-8\right)$.

Rysunek pomocniczy:

---

---

c)

Mamy:

$\{\begin{array}{l}{\left(x-5\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2=13\\ x+y-2=0\end{array}$

Rozwiązujemy układ równań metodą podstawiania.

Z drugiego równania wyznaczamy $y$:

$y=-x+2$

Czyli:

$\{\begin{array}{l}{\left(x-5\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2=13\\ y=-x+2\end{array}$

Do pierwszego równania w miejsce $y$ podstawiamy $-x+2$ i obliczamy $x$:

${\left(x-5\right)}^2+{\left(-x+2+2\right)}^2=13$

${\left(x-5\right)}^2+{\left(4-x\right)}^2=13$

$x^2-2\cdot x\cdot 5+5^2+4^2-2\cdot 4\cdot x+x^2=13$

$x^2-10x+25+16-8x+x^2=13$

$2x^2-18x+41=13$

$2x^2-18x+41-13=0$

$2x^2-18x+28=0|:2$

$x^2-9x+14=0$

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

$\Delta ={\left(-9\right)}^2-4\cdot 1\cdot 14=81-56=25$

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{25}=5$

$x_1=\frac{-\left(-9\right)-5}{2\cdot 1}=\frac{9-5}{2}=\frac{4}{2}=2$

$x_2=\frac{-\left(-9\right)+5}{2\cdot 1}=\frac{9+5}{2}=\frac{14}{2}=7$

Otrzymujemy, że:

• dla $x=2$:

$y=-x+2=-2+2=0$

• dla $x=7$:

$y=-x+2=-7+2=-5$

Zatem układ równań ma dwa rozwiązania:

$\boxed{\{\begin{array}{l}x=2\\ y=0\end{array}\text{lub}\{\begin{array}{l}x=7\\ y=-5\end{array}}$

---

Interpretacja geometryczna

Spójrzmy na pierwsze równanie układu:

${\left(x-5\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2=13$

Zauważmy, że jest to równanie okręgu o środku w punkcie $\left(5,-2\right)$ i promieniu $\sqrt{13}$.

Natomiast drugie równanie układu jest równaniem prostej:

$x+y-2=0$

Skoro układ równań ma dwa rozwiązania, to okrąg i prosta mają dwa punkty wspólne.

Są nimi punkty $\left(2,0\right)$ i $\left(7,-5\right)$.

Rysunek pomocniczy:

---

---

d)

Mamy:

$\{\begin{array}{l}{x}^2-6x+y^2=0\\ x^2-y^2=0\end{array}$

Z obu równań wyznaczamy $y^2$:

$\{\begin{array}{l}{y}^2=-x^2+6x\\ x^2=y^2\end{array}$

$\{\begin{array}{l}{y}^2=-x^2+6x\\ y^2=x^2\end{array}$

Stąd:

$-x^2+6x=x^2$

$-x^2+6x-x^2=0$

$-2x^2+6x=0|:(-2)$

$x^2-3x=0$

$x\left(x-3\right)=0$

$x=0\text{lub}x-3=0$

$x=0\text{lub}x=3$

Otrzymujemy, że:

• dla $x=0$:

$y^2=0^2$

$y^2=0$

$y=0$

• dla $x=3$:

$y^2=3^2$

$y^2=9$

$y=3\text{lub}y=-3$

Zatem układ równań ma trzy rozwiązania:

$\boxed{\{\begin{array}{l}x=0\\ y=0\end{array}\text{lub}\{\begin{array}{l}x=3\\ y=3\end{array}\text{lub}\{\begin{array}{l}x=3\\ y=-3\end{array}}$

---

Interpretacja geometryczna

Spójrzmy na pierwsze równanie układu:

$x^2-6x+y^2=0$

Ze wzoru skróconego mnożenia:

${\left(x-3\right)}^2=x^2-6x+9$

Możemy więc zapisać, że:

$x^2-6x+9-9+y^2=0$

${\left(x-3\right)}^2+y^2=9$

Zauważmy, że jest to równanie okręgu o środku w punkcie $\left(3,0\right)$ i promieniu $3$.

Natomiast drugie równanie opisuje sumę prostych:

$y=x\text{lub}y=-x$

Skoro układ równań ma trzy rozwiązania, to okrąg ma trzy punkty wspólne z tymi prostymi.

Są nimi punkty $\left(0,0\right)$, $\left(3,3\right)$ i $\left(3,-3\right)$.

Rysunek pomocniczy: