Postać ogólna, kanoniczna i iloczynowa funkcji kwadratowej Wzór funkcji kwadratowej $f$ można zapisać w następujących postaciach: 1) w postaci ogólnej: $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ gdzie $a,b,c\in \mathbb{R}$ i $a\ne 0$ 2) w postaci kanonicznej: $f\left(x\right)=a{\left(x-p\right)}^2+q$ gdzie $a\in \mathbb{R}\setminus \{0\}$ i $p=-\frac{b}{2a}$ i $q=-\frac{\Delta }{4a}$ 3) w postaci iloczynowej (ta postać istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy $\Delta \ge 0$): gdy $\Delta >0$: $f\left(x\right)=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)$ gdzie $a\in \mathbb{R}\setminus \{0\}$ i $x_1$, $x_2$ miejsca zerowe funkcji  gdy $\Delta =0$: $f\left(x\right)=a{\left(x-x_0\right)}^2$ gdzie $a\in \mathbb{R}\setminus \{0\}$ i $x_0$ miejsce zerowe funkcji

---

Dany jest wzór funkcji:

$f\left(x\right)=2x^2-x-3$

Przedstawmy wzór funkcji $f$ w postaci kanonicznej, w tym celu wyznaczymy współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem tej funkcji:

$p=-\frac{-1}{2\cdot 2}=\frac{1}{4}$

$q=-\frac{\Delta }{4\cdot 2}=-\frac{{\left(-1\right)}^2-4\cdot 2\cdot \left(-3\right)}{8}=-\frac{1+24}{8}=-\frac{25}{8}$

Zatem wzór funkcji $f$ w postaci kanonicznej to:

$f\left(x\right)=2{\left(x-\frac{1}{4}\right)}^2-\frac{25}{8}$

Obliczyliśmy, że:

$\Delta =25\ge 0$

zatem postać iloczynowa funkcji $f$ istnieje.

Przedstawmy wzór funkcji $f$ w postaci iloczynowej:

$\Delta =25,\sqrt{\Delta }=5$

Obliczmy miejsca zerowe funkcji $f$:

$x_1=\frac{1-5}{2\cdot 2}=\frac{-4}{4}=-1$

$x_2=\frac{1+5}{2\cdot 2}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$

Stąd wzór funkcji $f$ w postaci iloczynowej to:

$f\left(x\right)=2\left(x+1\right)\left(x-\frac{3}{2}\right)$