Dany jest ciąg $\left(a_n\right)$ określony dla każdej liczny naturalnej $n\ge 1$ w następujący sposób:

$a_n=2+6+10+14+\cdots +\left(4n-2\right)$

Mamy wykazać, że:

$a_n=2n^2$

Zauważmy, że $a_n$ to suma pewnego ciągu arytmetycznego $\left(b_n\right)$ takiego, że:

$\{\begin{array}{l}{b}_1=2\\ b_n=4n-2\end{array}$

Stąd korzystając ze wzoru na sumę $n$ wyrazów ciągu arytmetycznego mamy, że:

$a_n=S_{\left(b_n\right)}=\frac{2+4n-2}{2}\cdot n=\frac{4n}{2}\cdot n=2n\cdot n=2n^2$

Co należało wykazać.