Wiemy, że:

$f\left(x\right)=\frac{1}{x},x\ne 0$

Poniższe liczby zapisane w podanej kolejności są trzema kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu geometrycznego:

$f\left(\frac{1}{2}\right),f\left(k\right),f\left(\frac{1}{4}\right)$

Wyznaczamy:

$f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{\frac{1}{2}}=1\cdot \frac{2}{1}=2$

$f\left(k\right)=\frac{1}{k},k\ne 0$

$f\left(\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{\frac{1}{4}}=1\cdot \frac{4}{1}=4$

Mamy więc:

$2,\frac{1}{k},4$

Korzystamy z zależności dla sąsiednich wyrazów ciągu geometrycznego i zapisujemy równanie:

${\left(\frac{1}{k}\right)}^2=2\cdot 4$

$\frac{1}{k^2}=8|\cdot k^2$

$1=8k^2$

Czyli

$8k^2=1|:8$

$k^2=\frac{1}{8}$

Stąd

$k=\sqrt{\frac{1}{8}}\text{lub}k=-\sqrt{\frac{1}{8}}$

Zauważmy, że:

$\sqrt{\frac{1}{8}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{8}}=\frac{1}{\sqrt{4\cdot 2}}=\frac{1}{\sqrt{4}\cdot \sqrt{2}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2\cdot 2}=\frac{\sqrt{2}}{4}$

Czyli

$k=\frac{\sqrt{2}}{4}\text{lub}k=-\frac{\sqrt{2}}{4}$

Otrzymujemy, że:

• dla $k=\frac{\sqrt{2}}{4}$

$\frac{1}{k}=\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4}}=1\cdot \frac{4}{\sqrt{2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$

Ciąg $\left(2,2\sqrt{2},4\right)$ jest rosnący.

• dla $k=-\frac{\sqrt{2}}{4}$

$\frac{1}{k}=\frac{1}{-\frac{\sqrt{2}}{4}}=-2\sqrt{2}$

Ciąg $\left(2,-2\sqrt{2},4\right)$ nie jest rosnący.

Warunki zadania są spełnione dla:

$\boxed{k=\frac{\sqrt{2}}{4}}$