Dane jest równanie:

${\mathrm{tg}}^2\alpha -8=0$

Przekształcamy powyższe równanie i otrzymujemy:

${\mathrm{tg}}^2\alpha =8$

Wiemy, że kąt $\alpha$ jest ostry, zatem $\mathrm{tg}\alpha$ jest dodatni, stąd

$\mathrm{tg}\alpha =\sqrt{8}$

$\mathrm{tg}\alpha =\sqrt{4\cdot 2}$

$\mathrm{tg}\alpha =2\sqrt{2}$

$\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=2\sqrt{2}|\cdot \cos \alpha$

$\sin \alpha =2\sqrt{2}\cos \alpha$

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej.

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

${\left(2\sqrt{2}\cos \alpha \right)}^2+{\cos }^2\alpha =1$

$8{\cos }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

$9{\cos }^2\alpha =1|:9$

${\cos }^2\alpha =\frac{1}{9}$

Kąt $\alpha$ jest ostry, zatem $\cos \alpha$ jest dodatni, stąd

$\cos \alpha =\frac{1}{3}$

Wyznaczamy sinus kąta $\alpha .$

$\sin \alpha =2\sqrt{2}\cos \alpha$

$\sin \alpha =2\sqrt{2}\cdot \frac{1}{3}$

$\sin \alpha =\frac{2\sqrt{2}}{3}$