a)

Mamy dane:

$c=15$  

$\sin \alpha =\frac{3}{5}$  

Przyjmujemy dane jak na poniższym rysunku. Rysunek:

Korzystając z definicji funkcji sinus w trójkącie prostokątnym, otrzymujemy:

$\sin \alpha =\frac{a}{c}$  

$\frac{3}{5}=\frac{a}{15}|\cdot 15$

$a=15\cdot \frac{3}{5}$

$a=9$  

Stosujemy twierdzenie Pitagorasa i otrzymujemy:

$9^2+b^2={15}^2$  

$81+b^2=225|-81$  

$b^2=144$  

Wiemy, że długość boku jest liczbą nieujemną, stąd

$b=12$  

---

b)

Mamy dane:

$a=14$  

$\sin \beta =\frac{24}{5}$  

Przyjmujemy dane jak na poniższym rysunku. Rysunek:

Korzystając z definicji funkcji sinus w trójkącie prostokątnym, otrzymujemy:

$\sin \beta =\frac{b}{c}$  

$\frac{24}{25}=\frac{b}{c}|\cdot c$

$b=\frac{24}{25}c$

Stosujemy twierdzenie Pitagorasa i otrzymujemy:

${14}^2+b^2=c^2$  

$196+{\left(\frac{24}{25}c\right)}^2=c^2$   

$196+\frac{576}{625}{c}^2=c^2|-\frac{576}{625}{c}^2$  

$196=\frac{625}{625}{c}^2-\frac{576}{625}{c}^2$  

$\frac{49}{625}{c}^2=196\mid :\frac{49}{625}$  

$c^2={\cancel{196}}^4\cdot \frac{625}{{\cancel{49}}_1}$  

$c^2=2500$  

Wiemy, że długość boku jest liczbą nieujemną, stąd

$c=50$   

Wyznaczamy długość boku $b.$

$b=\frac{24}{25}c$ 

$b=\frac{24}{{\cancel{25}}_1}\cdot {\cancel{50}}^2$

$b=48$

---

c)

Mamy dane:

$b=\sqrt{6}+\sqrt{2}$  

$\text{tg}\beta =2+\sqrt{3}$  

Przyjmujemy dane jak na poniższym rysunku. Rysunek:

Korzystając z definicji funkcji tangens w trójkącie prostokątnym, otrzymujemy:

$\text{tg}\beta =\frac{b}{a}$  

$2+\sqrt{3}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{a}|\cdot a$

$\left(2+\sqrt{3}\right)\cdot a=\sqrt{6}+\sqrt{2}|:\left(2+\sqrt{3}\right)$

$a=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2+\sqrt{3}}$  

Usuwamy niewymierność z mianownika ułamka.

$a=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2+\sqrt{3}}\cdot \frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}$

$a=\frac{\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{2^2-{\left(\sqrt{3}\right)}^2}$

$a=\frac{2\sqrt{6}-\sqrt{18}+2\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4-3}$

$a=\sqrt{6}-3\sqrt{2}+2\sqrt{2}$

$a=\sqrt{6}-\sqrt{2}$

Stosujemy twierdzenie Pitagorasa i otrzymujemy:

${\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)}^2+{\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)}^2=c^2$

${\left(\sqrt{6}\right)}^2-2\cdot \sqrt{6}\cdot \sqrt{2}+{\left(\sqrt{2}\right)}^2+{\left(\sqrt{6}\right)}^2+2\cdot \sqrt{6}\cdot \sqrt{2}+{\left(\sqrt{2}\right)}^2=c^2$  

$6-\cancel{2\sqrt{12}}+2+6+\cancel{2\sqrt{12}}+2=c^2$  

$16=c^2$  

Wiemy, że długość boku jest liczbą nieujemną, stąd

$c=4$  

---

d)

Mamy dane:

$c=\sqrt{13}$  

$\text{tg}\alpha =\frac{3}{2}$  

Przyjmujemy dane jak na poniższym rysunku. Rysunek:

Korzystając z definicji funkcji tangens w trójkącie prostokątnym, otrzymujemy:

$\text{tg}\alpha =\frac{a}{b}$  

$1,5=\frac{a}{b}$

$\frac{3}{2}=\frac{a}{b}|\cdot b$

$a=\frac{3}{2}b$

Stosujemy twierdzenie Pitagorasa i otrzymujemy:

${\left(\frac{3}{2}b\right)}^2+b^2={\left(\sqrt{13}\right)}^2$

$\frac{9}{4}{b}^2+b^2=13\mid \cdot 4$  

$9b^2+4b^2=52$  

$13b^2=52\mid :13$  

$b^2=4$  

Wiemy, że długość boku jest liczbą nieujemną, stąd

$b=2$  

Wyznaczamy długość boku $a.$

$a=\frac{3}{2}b$

$a=\frac{3}{{\cancel{2}}_1}\cdot {\cancel{2}}^1$

$a=3$