a)

Dana jest funkcja:

$f\left(x\right)=\frac{2}{x-2}$

Wyznaczamy dziedzinę tej funkcji.

$x-2\ne 0$

$x\ne 2$

$D_f=\mathbb{R}\backslash \left\{2\right\}$

Aby narysować wykres funkcji, wyznaczamy kilka wartości tej funkcji. 

Dla $x=0$ mamy:

$f\left(0\right)=\frac{2}{0-2}=\frac{2}{-2}=-1$

Dla $x=1$ mamy:

$f\left(1\right)=\frac{2}{1-2}=\frac{2}{-1}=-2$

Dla $x=3$ mamy:

$f\left(3\right)=\frac{2}{3-2}=\frac{2}{1}=2$

Dla $x=4$ mamy:

$f\left(4\right)=\frac{2}{4-2}=\frac{2}{2}=1$

Uzupełniamy tabelkę wartości funkcji, w oparciu o powyższe obliczenia.

$x$	$0$	$1$	$3$	$4$
$f\left(x\right)$	$-1$	$-2$	$2$	$1$

Rysujemy wykres funkcji $f.$

Z wykresu odczytujemy przedziały monotoniczności.

Funkcja $f$ jest malejąca w przedziale $\left(-\infty ,2\right)$ oraz w przedziale $\left(2,\infty \right).$

---

b)

Dana jest funkcja:

$f\left(x\right)=\frac{3}{x+3}$

Wyznaczamy dziedzinę tej funkcji.

$x+3\ne 0$

$x\ne -3$

$D_f=\mathbb{R}\backslash \left\{-3\right\}$

Aby narysować wykres funkcji, wyznaczamy kilka wartości tej funkcji.

Dla $x=-5$ mamy:

$f\left(-5\right)=\frac{3}{-5+3}=\frac{3}{-2}=-1\frac{1}{2}$

Dla $x=-4$ mamy:

$f\left(-4\right)=\frac{3}{-4+3}=\frac{3}{-1}=-3$

Dla $x=-2$ mamy:

$f\left(-2\right)=\frac{3}{-2+3}=\frac{3}{1}=3$

Dla $x=-1$ mamy:

$f\left(-1\right)=\frac{3}{-1+3}=\frac{3}{2}=1\frac{1}{2}$

Uzupełniamy tabelkę wartości funkcji, w oparciu o powyższe obliczenia.

$x$	$-5$	$-4$	$-2$	$-1$
$f\left(x\right)$	$-1\frac{1}{2}$	$-3$	$3$	$1\frac{1}{2}$

Rysujemy wykres funkcji $f.$

Z wykresu odczytujemy przedziały monotoniczności.

Funkcja $f$ jest malejąca w przedziale $\left(-\infty ,-3\right)$ oraz w przedziale $\left(-3,\infty \right).$

---

c)

Dana jest funkcja:

$f\left(x\right)=-\frac{2}{x+1}$

Wyznaczamy dziedzinę tej funkcji.

$x+1\ne 0$

$x\ne -1$

$D_f=\mathbb{R}\backslash \left\{-1\right\}$

Aby narysować wykres funkcji, wyznaczamy kilka wartości tej funkcji.

Dla $x=-3$ mamy:

$f\left(-3\right)=-\frac{2}{-3+1}=-\frac{2}{-2}=1$

Dla $x=-2$ mamy:

$f\left(-2\right)=-\frac{2}{-2+1}=-\frac{2}{-1}=2$

Dla $x=0$ mamy:

$f\left(0\right)=-\frac{2}{0+1}=-\frac{2}{1}=-2$

Dla $x=1$ mamy:

$f\left(1\right)=-\frac{2}{1+1}=-\frac{2}{2}=-1$

Uzupełniamy tabelkę wartości funkcji, w oparciu o powyższe obliczenia.

$x$	$-3$	$-2$	$0$	$1$
$f\left(x\right)$	$1$	$2$	$-2$	$-1$

Rysujemy wykres funkcji $f.$

Z wykresu odczytujemy przedziały monotoniczności.

Funkcja $f$ jest rosnąca w przedziale $\left(-\infty ,-1\right)$ oraz w przedziale $\left(-1,\infty \right).$

---

d)

Dana jest funkcja:

$f\left(x\right)=-\frac{4}{x-3}$

Wyznaczamy dziedzinę tej funkcji.

$x-3\ne 0$

$x\ne 3$

$D_f=\mathbb{R}\backslash \left\{3\right\}$

Aby narysować wykres funkcji, wyznaczamy kilka wartości tej funkcji.

Dla $x=1$ mamy:

$f\left(1\right)=-\frac{4}{1-3}=-\frac{4}{-2}=2$

Dla $x=2$ mamy:

$f\left(2\right)=-\frac{4}{2-3}=-\frac{4}{-1}=4$

Dla $x=4$ mamy:

$f\left(4\right)=-\frac{4}{4-3}=-\frac{4}{1}=-4$

Dla $x=5$ mamy:

$f\left(5\right)=-\frac{4}{5-3}=-\frac{4}{2}=-2$

Uzupełniamy tabelkę wartości funkcji, w oparciu o powyższe obliczenia.

$x$	$1$	$2$	$4$	$5$
$f\left(x\right)$	$2$	$4$	$-4$	$-2$

Rysujemy wykres funkcji $f.$

Z wykresu odczytujemy przedziały monotoniczności.

Funkcja $f$ jest rosnąca w przedziale $\left(-\infty ,3\right)$ oraz w przedziale $\left(3,\infty \right).$