a)

Z treści zadania wiemy, że krawędź podstawy ma długość $2$ oraz podstawą graniastosłupa prawidłowego jest kwadrat.

Obliczamy pole podstawy. 

$P_p=2^2=4$

Obliczamy pole boczne, czyli pole czterech prostokątów o boku długości $2$ oraz $H.$

$P_b=4\cdot 2\cdot H=8H$

Ze wzoru na pole powierzchni całkowitej graniastosłupa mamy:

$P_c=2P_p+P_b$

Wiemy, że pole powierzchni całkowitej jest równe $36$. Stąd otrzymujemy równanie:

$2\cdot 4+8H=36$

$8+8H=36|-8$

$8H=28|:8$

$H=\frac{28}{8}$

$\boxed{H=\frac{7}{2}}$

---

b)

Z treści zadania wiemy, że krawędź podstawy ma długość $2$ oraz podstawą graniastosłupa prawidłowego jest trójkąt. 

Obliczamy pole podstawy, czyli pole trójkąta równobocznego o boku długości $2.$

$P_p=\frac{2^2\sqrt{3}}{4}=\frac{4\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}$

Obliczamy pole boczne, czyli pole trzech prostokątów o boku długości $2$ oraz $H.$

$P_b=3\cdot 2\cdot H=6H$

Ze wzoru na pole powierzchni całkowitej graniastosłupa mamy:

$P_c=2P_p+P_b$

Wiemy, że pole powierzchni całkowitej jest równe $36$. Stąd otrzymujemy równanie:

$36=2\sqrt{3}+6H|:2$

$18=\sqrt{3}+3H|-\sqrt{3}$

$3H=18-\sqrt{3}|:3$

$\boxed{H=6-\frac{\sqrt{3}}{3}}$

---

c)

Z treści zadania wiemy, że krawędź podstawy ma długość $2$ oraz podstawą graniastosłupa prawidłowego jest sześciokąt. 

Obliczamy pole podstawy, czyli pole sześciokąta foremnego o boku długości $2.$ Jest to pole sześciu trójkątów równobocznych o boku długości $2.$

$P_p=6\cdot P_{\Delta }=6\cdot \frac{2^2\sqrt{3}}{4}=6\cdot \frac{4\sqrt{3}}{4}=6\sqrt{3}$

Obliczamy pole boczne, czyli pole sześciu prostokątów o boku długości $2$ oraz $H.$

$P_b=6\cdot 2\cdot H=12H$

Ze wzoru na pole powierzchni całkowitej graniastosłupa mamy:

$P_c=2P_p+P_b$

Wiemy, że pole powierzchni całkowitej jest równe $36$. Stąd otrzymujemy równanie:

$36=2\cdot 6{\sqrt{3}}_{}+12H$

$36=12\sqrt{3}+12H|:12$

$3=\sqrt{3}+H|-\sqrt{3}$

$\boxed{H=3-\sqrt{3}}$