Dane są wierzchołki trójkąta równoramiennego:

$A=\left(-2,1\right),B=\left(6,1\right)$

Wiemy, że punkt $C$ leży na prostej $y=x+2,$ zatem punkt $C$ ma współrzędne:

$C=\left(x,x+2\right)$

Z treści zadania wiemy, że $AB$ to podstawa trójkąta $ABC.$ Boki $AC$ i $BC$ to ramiona tego trójkąta. Wyznaczamy długości odcinków $AC$ i $BC,$ korzystając ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych.

$\left|AC\right|=\sqrt{{\left(x-\left(-2\right)\right)}^2+{\left(x+2-1\right)}^2}$

$\left|AC\right|=\sqrt{{\left(x+2\right)}^2+{\left(x+1\right)}^2}$

$\left|AC\right|=\sqrt{x^2+4x+4+x^2+2x+1}$

$|AC|=\sqrt{2x^2+6x+5}$

$\left|BC\right|=\sqrt{{\left(x-6\right)}^2+{\left(x+2-1\right)}^2}$

$\left|BC\right|=\sqrt{x^2-12x+36+{\left(x+1\right)}^2}$

$\left|BC\right|=\sqrt{x^2-12x+36+x^2+2x+1}$

$|BC|=\sqrt{2x^2-10x+37}$

Odcinki $AC$ i $BC$ mają tę samą długość, więc:

$\sqrt{2x^2+6x+5}=\sqrt{2x^2-10x+37}$

$2x^2+6x+5=2x^2-10x+37|-2x^2+10x$

$16x+5=37|-5$

$16x=32|:16$

$x=\boxed{2}$

Obliczamy drugą współrzędną punktu $C.$

$x+2=2+2=\boxed{4}$

Wnioskujemy, że punkt $C$ ma współrzędne $\left(2,4\right).$

Odp. $C=\left(2,4\right).$