Uwaga! Odpowiedź do podpunktu a) zamieszczona w książce jest błędna.

---

a)

Dany jest wielomian:

$w\left(x\right)=-x^3+{\left(a+b\right)}^2{x}^2+\left(b-a\right)x$

Do wykresu tego wielomianu należy punkt $P\left(1,1\right)$, a więc:

$w\left(1\right)=1$

$-1^3+{\left(a+b\right)}^2\cdot 1^2+\left(b-a\right)\cdot 1=1$

$-1+{\left(a+b\right)}^2+b-a=1$

${\left(a+b\right)}^2+b-a=2$

Wielomian $w$ jest równy wielomianowi $u$, zatem dla każdego $x\in \mathbb{R}$ zachodzi:

$w\left(x\right)=u\left(x\right)$

$-x^3+{\left(a+b\right)}^2{x}^2+\left(b-a\right)x=x^2\left(2c-x\right)-cx$

$-x^3+{\left(a+b\right)}^2{x}^2+\left(b-a\right)x=-x^3+2c{x}^2-cx$

Skoro $w\left(1\right)=1$ i wielomian $w$ jest równy wielomianowi $u$, to:

$u\left(1\right)=1$

$-1^3+2c\cdot 1^2-c\cdot 1=1$

$-1+2c-c=1$

$c=2$

Wielomiany są równe gdy wszystkie ich odpowiednie współczynniki są równe, czyli w tym wypadku:

$\{\begin{array}{l}(a+b{)}^2=2c\\ b-a=-c\end{array}$

$\{\begin{array}{l}(a+b{)}^2=4\\ b-a=-2\end{array}$

$\{\begin{array}{l}(a+b{)}^2=4\\ b=a-2\end{array}$

$\{\begin{array}{l}(a+a-2{)}^2=4\\ b=a-2\end{array}$

$\{\begin{array}{l}(2a-2{)}^2=4\\ b=a-2\end{array}$

$\{\begin{array}{l}4a^2-8a+4=4\\ b=a-2\end{array}$

$\{\begin{array}{l}4a^2-8a=0\\ b=a-2\end{array}$

$\{\begin{array}{l}{a}^2-2a=0\\ b=a-2\end{array}$

$\{\begin{array}{l}a\left(a-2\right)=0\\ b=a-2\end{array}$

$\{\begin{array}{l}a=0\\ b=a-2\end{array}\vee \{\begin{array}{l}a-2=0\\ b=a-2\end{array}$

$\{\begin{array}{l}a=0\\ b=a-2\end{array}\vee \{\begin{array}{l}a=2\\ b=a-2\end{array}$

$\{\begin{array}{l}a=0\\ b=0-2\end{array}\vee \{\begin{array}{l}a=2\\ b=2-2\end{array}$

$\{\begin{array}{l}a=0\\ b=2\end{array}\vee \{\begin{array}{l}a=2\\ b=0\end{array}$

Zatem otrzymaliśmy, że:

$a=2$, $b=0$, $c=2$  lub   $a=0$, $b=2$, $c=2$

Aby zachodziło $b-a=c$, musi zachodzić:

$a=0$, $b=2$, $c=2$

---

b)

Zapiszmy wzór wielomianu $w$:

$w\left(x\right)=-x^3+{\left(a+b\right)}^2{x}^2+\left(b-a\right)x=$

$=-x^3+4x^2-2x$

Wyznaczmy jego pierwiastki. W tym celu rozwiążemy równanie:

$-x^3+4x^2-2x=0$

$-x\left(x^2-4x+2\right)=0$

$-x=0\vee x^2-4x+2=0$

$x=0\vee x^2-4x+2=0$

Rozwiążmy drugie z równań:

$x^2-4x+2=0$

$\Delta ={\left(-4\right)}^2-4\cdot 1\cdot 2=16-8=8$

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=2\sqrt{2}$

$x_1=\frac{4-2\sqrt{2}}{2}=2-\sqrt{2}$

$x_2=\frac{4+2\sqrt{2}}{2}=2+\sqrt{2}$

Zatem pierwiastki wielomianu $w$ to:

$x=0$, $x=2-\sqrt{2}$, $x=2+\sqrt{2}$