a)

Dane jest równanie:

$x^4+2m{x}^2+1=0$

Podstawiając $x^2=t$, gdzie $t⩾0$, otrzymamy równanie:

$t^2+2mt+1=0$

Wyjściowe równanie będzie miało cztery różne pierwiastki, gdy powyższe równanie będzie miało dwa pierwiastki dodatnie. Wtedy zachodzi:

$\{\begin{array}{l}\Delta >0\\ x_1+x_2>0\\ x_1{x}_2>0\end{array}$

• Sprawdźmy, kiedy $\Delta >0$:

${\left(2m\right)}^2-4\cdot 1\cdot 1>0$

$4m^2-4>0|:4$

$m^2-1>0|+1$

$m^2>1|\sqrt{}$

$\left|m\right|>1$

$m>1\vee m<-1$

$m\in \left(-\infty ,-1\right)\cup \left(1,\infty \right)$

• Sprawdźmy, kiedy $x_1{x}_2>0$:

$x_1{x}_2>0$

$\frac{c}{a}>0$

$\frac{1}{1}>0$

$m\in \mathbb{R}$

• Sprawdźmy, kiedy $x_1+x_2>0$:

$x_1+x_2>0$

$-\frac{b}{a}>0$

$-\frac{2m}{1}>0|:\left(-2\right)$

$m<0$

$m\in \left(-\infty ,0\right)$

Zatem mamy:

$m\in \left(-\infty ,-1\right)\cup \left(1,\infty \right)$   oraz   $m\in \mathbb{R}$   oraz   $m\in \left(-\infty ,0\right)$

Zatem ostatecznie:

$m\in \left(-\infty ,-1\right)$

---

b)

Dane jest równanie:

$\left(m-1\right)x^4+x^2+m=0$

Podstawiając $x^2=t$, gdzie $t⩾0$, otrzymamy równanie:

$\left(m-1\right)t^2+t+m=0$

Wyjściowe równanie będzie miało cztery różne pierwiastki, gdy powyższe równanie będzie miało dwa pierwiastki dodatnie. Wtedy zachodzi:

$\{\begin{array}{l}m-1\ne 0\\ \Delta >0\\ x_1+x_2>0\\ x_1{x}_2>0\end{array}\to \{\begin{array}{l}m\ne 1\\ \Delta >0\\ x_1+x_2>0\\ x_1{x}_2>0\end{array}$

• Sprawdźmy, kiedy $\Delta >0$:

$\Delta >0$

$1^2-4\cdot \left(m-1\right)\cdot m>0$

$1-4m^2+4m>0$

$-4m^2+4m+1>0$

${\Delta }_m=4^2-4\cdot \left(-4\right)\cdot 1=16+16=32$

$\sqrt{{\Delta }_m}=\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot 2}=4\sqrt{2}$

$m_1=\frac{-4-4\sqrt{2}}{2\cdot \left(-4\right)}=\frac{1+\sqrt{2}}{2}$

$m_2=\frac{-4+4\sqrt{2}}{2\cdot \left(-4\right)}=\frac{1-\sqrt{2}}{2}$

Naszkicujmy rysunek pomocniczy wykresu funkcji $y=m\left(m-1\right)$:

Z rysunku odczytujemy rozwiązanie nierówności. Będą to te wartości $m$, dla których wykres leży nad osią poziomą. Zatem mamy:

$m\in \left(-\infty ,\frac{1-\sqrt{2}}{2}\right)\cup \left(\frac{1+\sqrt{2}}{2},\infty \right)$

• Sprawdźmy, kiedy $x_1{x}_2>0$:

$x_1{x}_2>0$

$\frac{c}{a}>0$

$\frac{m}{m-1}>0$

$m\left(m-1\right)>0$

$m=0\vee m=1$

Naszkicujmy rysunek pomocniczy wykresu funkcji $y=m\left(m-1\right)$:

Z rysunku odczytujemy rozwiązanie nierówności. Będą to te wartości $m$, dla których wykres leży nad osią poziomą. Zatem mamy:

$m\in \left(-\infty ,0\right)\cup \left(1,\infty \right)$

• Sprawdźmy, kiedy $x_1+x_2>0$:

$x_1+x_2>0$

$-\frac{b}{a}>0$

$-\frac{1}{m-1}>0$

$\frac{1}{1-m}>0$

$1-m>0$

$1>m$

$m<1$

$m\in \left(-\infty ,1\right)$

Zatem mamy:

$m\in \left(-\infty ,\frac{1-\sqrt{2}}{2}\right)\cup \left(\frac{1+\sqrt{2}}{2},\infty \right)$   oraz   $m\in \left(-\infty ,0\right)\cup \left(1,\infty \right)$   oraz   $m\in \left(-\infty ,1\right)$

Zatem ostatecznie:

$m\in \left(-\infty ,\frac{1-\sqrt{2}}{2}\right)$