W rozwiązaniu zadania skorzystamy ze wzoru na zamianę podstaw  logarytmu:

${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$

Oraz ze wzorów:

${\log }_a{b}^n=n\cdot {\log }_{a}b$

${\log }_a\left(b\cdot c\right)={\log }_{a}b+{\log }_{a}c$

A zatem:

${a=\log }_{5}4=\frac{{\log }_{4}4}{{\log }_{4}5}=\frac{1}{{\log }_{4}5}$

---

$b={\log }_{4}3$

---

${\log }_{12}80=\frac{{\log }_{4}80}{{\log }_{4}12}=\frac{{\log }_4\left(16\cdot 5\right)}{{\log }_4\left(4\cdot 3\right)}=$

$=\frac{{\log }_4\left(4^2\cdot 5\right)}{{\log }_{4}4+{\log }_{4}3}=\frac{{\log }_4{4}^2+{\log }_{4}5}{1+{\log }_{4}3}=$

$=\frac{2{\log }_{4}4+{\log }_{4}5}{1+{\log }_{4}3}=\frac{2+\frac{1}{a}}{1+b}=\frac{2a+1}{a\cdot \left(1+b\right)}$, co należało wykazać.