Skoro $k$ i $l$, czyli do okręgu w punktach $A$ i $B$, przecinają się w punkcie $C$, to $\left|AC\right|=\left|BC\right|$.

Zatem trójkąt $ACB$ jest trójkątem równoramiennym i możemy przyjąć:

$\left|\sphericalangle BAC\right|=\left|\sphericalangle ABC\right|=\alpha$

$\left|\sphericalangle ACB\right|=180^{\circ }-2\alpha$

Trójkąt $ABS$ jest trójkątem równoramiennym, ponieważ dwa jego boki to promienie okręgu. Stąd:

$\left|\sphericalangle SAB\right|=\left|\sphericalangle SBA\right|$ oraz  $\left|\sphericalangle SAB\right|=\left|\sphericalangle SBA\right|$

Styczna do okręgu oraz promień okręgu poprowadzony do punktu styczności są prostopadłe, a więc:

$\left|\sphericalangle SAC\right|=90^{\circ }$

A więc:

$\left|\sphericalangle SAB\right|=\left|\sphericalangle SAC\right|-\left|\sphericalangle BAC\right|=90^{\circ }-\alpha$

$\left|\sphericalangle SBA\right|=\left|\sphericalangle SAB\right|=90^{\circ }-\alpha$

Suma miar kątów wewnętrznych trójkąta wynosi $180^{\circ }$, zatem:

$\left|\sphericalangle ASB\right|=180^{\circ }-\left|\sphericalangle SAB\right|-\left|\sphericalangle SBA\right|=$

$=180^{\circ }-\left(90^{\circ }-\alpha \right)-\left(90^{\circ }-\alpha \right)=180^{\circ }-90^{\circ }+\alpha -90^{\circ }+\alpha =2\alpha$

Kąty $DAS$ i $ASB$ tworzą razem kąt półpełny. Zatem mamy:

$\left|\sphericalangle DAS\right|=180^{\circ }-\left|\sphericalangle ASB\right|=180^{\circ }-2\alpha$

Trójkąt $ASD$ jest trójkątem równoramiennym, ponieważ dwa jego boki to promienie okręgu. Stąd:

$\left|\sphericalangle SDA\right|=\left|\sphericalangle SAD\right|=\frac{180^{\circ }-\left|\sphericalangle DAS\right|}{2}=\frac{180^{\circ }-\left(180^{\circ }-2\alpha \right)}{2}=$

$=\frac{180^{\circ }-180^{\circ }+2\alpha }{2}=\frac{2\alpha }{2}=\alpha$

Zatem mamy:

• $\left|\sphericalangle SDA\right|=\left|\sphericalangle BAC\right|=\alpha$
• $\left|\sphericalangle SAD\right|=\left|\sphericalangle ABC\right|=\alpha$
• $\left|\sphericalangle ACB\right|=\left|\sphericalangle DAS\right|=180^{\circ }-\alpha$

A więc trójkąty $ACB$ i $ASD$ są podobne (z cechy kąt-kąt-kąt), co należało wykazać