a)

Wyznaczmy kąt ostry $\alpha$, dla którego zachodzi:

$\frac{4-3\sin \left(180^{\circ }-\alpha \right)}{2}-\frac{1}{4}=\sqrt{2}\sin 135^{\circ }$

Mamy:

$\frac{4-3\sin \left(180^{\circ }-\alpha \right)}{2}-\frac{1}{4}=\sqrt{2}\sin 135^{\circ }|\cdot 4$

$2\left(4-3\sin \left(180^{\circ }-\alpha \right)\right)-1=4\sqrt{2}\sin 135^{\circ }$

$8-6\sin \left(180^{\circ }-\alpha \right)-1=4\sqrt{2}\sin \left(180^{\circ }-45^{\circ }\right)$

Korzystając ze wzoru redukcyjnego $\sin \left(180^{\circ }-\alpha \right)=\sin \alpha$, mamy:

$8-6\sin \alpha -1=4\sqrt{2}\sin 45^{\circ }$

$7-6\sin \alpha =4\sqrt{2}\sin 45^{\circ }|-7$

$-6\sin \alpha =4\sqrt{2}\sin 45^{\circ }-7|:\left(-6\right)$

$\sin \alpha =\frac{4\sqrt{2}\sin 45^{\circ }-7}{-6}$

$\sin \alpha =\frac{4\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-7}{-6}$

$\sin \alpha =\frac{4\cdot \frac{2}{2}-7}{-6}$

$\sin \alpha =\frac{4-7}{-6}$

$\sin \alpha =\frac{-3}{-6}$

$\sin \alpha =\frac{1}{2}$

Skoro $\alpha$ to kat ostry, to:

$\alpha =30^{\circ }$

---

b)

Wyznaczmy kąt ostry $\alpha$, dla którego zachodzi:

$\frac{4\cos \left(180^{\circ }-\alpha \right)+\sqrt{3}}{3}=\mathrm{tg}150^{\circ }$

Mamy:

$\frac{4\cos \left(180^{\circ }-\alpha \right)+\sqrt{3}}{3}=\mathrm{tg}150^{\circ }|\cdot 3$

$4\cos \left(180^{\circ }-\alpha \right)+\sqrt{3}=3\mathrm{tg}150^{\circ }$

Korzystając ze wzoru redukcyjnego $\cos \left(180^{\circ }-\alpha \right)=-\cos \alpha$, mamy:

$-4\cos \alpha +\sqrt{3}=3\mathrm{tg}150^{\circ }$

$-4\cos \alpha +\sqrt{3}=3\mathrm{tg}\left(180^{\circ }-30^{\circ }\right)$

Korzystając ze wzoru redukcyjnego $\mathrm{tg}\left(180^{\circ }-\alpha \right)=-\mathrm{tg}\alpha$, mamy:

$-4\cos \alpha +\sqrt{3}=-3\mathrm{tg}30^{\circ }|-\sqrt{3}$

$-4\cos \alpha =-3\mathrm{tg}30^{\circ }-\sqrt{3}|:\left(-4\right)$

$\cos \alpha =\frac{-3\mathrm{tg}30^{\circ }-\sqrt{3}}{-4}$

$\cos \alpha =\frac{3\mathrm{tg}30^{\circ }+\sqrt{3}}{4}$

$\cos \alpha =\frac{3\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}+\sqrt{3}}{4}$

$\cos \alpha =\frac{\sqrt{3}+\sqrt{3}}{4}$

$\cos \alpha =\frac{2\sqrt{3}}{4}$

$\cos \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}$

Skoro $\alpha$ to kat ostry, to:

$\alpha =30^{\circ }$

---

---

c)

Uwaga! Prawdopodobnie w treści zadania pojawił się błąd. Rozwiążemy tu równanie:

$\frac{3-2\sqrt{2}\mathrm{tg}\left(180^{\circ }-\alpha \right)}{4}-0,5\sqrt{2}=0,75$

---

Wyznaczmy kąt ostry $\alpha$, dla którego zachodzi:

$\frac{3-2\sqrt{2}\mathrm{tg}\left(180^{\circ }-\alpha \right)}{4}-0,5\sqrt{2}=0,75$

Mamy:

$\frac{3-2\sqrt{2}\mathrm{tg}\left(180^{\circ }-\alpha \right)}{4}-0,5\sqrt{2}=0,75$

Korzystając ze wzoru redukcyjnego $\mathrm{tg}\left(180^{\circ }-\alpha \right)=-\mathrm{tg}\alpha$, mamy:

$\frac{3+2\sqrt{2}\mathrm{tg}\alpha }{4}-0,5\sqrt{2}=0,75|\cdot 4$

$3+2\sqrt{2}\mathrm{tg}\alpha -2\sqrt{2}=3|-3+2\sqrt{2}$

$2\sqrt{2}\mathrm{tg}\alpha =2\sqrt{2}|:2\sqrt{2}$

$\mathrm{tg}\alpha =1$

Korzystając ze wzoru redukcyjnego $\mathrm{tg}\left(180^{\circ }-\alpha \right)=-\mathrm{tg}\alpha$, mamy: