Etap 1.

O kącie $\alpha$ wiemy, że:

$\sin \alpha -\cos \alpha =\frac{\sqrt{3}}{4}$

Podnosząc to równanie obustronnie do kwadratu, otrzymujemy:

${\left(\sin \alpha -\cos \alpha \right)}^2=\frac{3}{16}$

${\sin }^2\alpha -2\sin \alpha \cos \alpha +{\cos }^2\alpha =\frac{3}{16}$

Korzystając z jedynki trygonometrycznej otrzymujemy:

$1-2\sin \alpha \cos \alpha =\frac{3}{16}|-1$

$-2\sin \alpha \cos \alpha =\frac{3}{16}-1$

$-2\sin \alpha \cos \alpha =\frac{3}{16}-\frac{16}{16}$

$-2\sin \alpha \cos \alpha =-\frac{13}{16}|:\left(-2\right)$

$\sin \alpha \cos \alpha =\frac{13}{32}$

Zatem otrzymaliśmy, że:

$\sin \alpha \cos \alpha =\frac{13}{32}$

---

Etap 2.

Uprośćmy wyrażenie:

${\left(\sin \alpha +\cos \alpha \right)}^2+4$

Mamy:

${\left(\sin \alpha +\cos \alpha \right)}^2+4=$

$={\sin }^2\alpha +2\sin \alpha \cos \alpha +{\cos }^2\alpha +4=$

$=1+2\sin \alpha \cos \alpha +4=$

$=5+2\cdot \frac{13}{32}=5+\frac{13}{16}=5\frac{13}{16}$