Jeśli funkcja kwadratowa jest określona w przedziale domkniętym, to przyjmuje wartość największą i najmniejszą. Są one przyjmowane albo na krańcach przedziału, albo w wierzchołku funkcji (pod warunkiem, że ten wierzchołek zawiera się w rozpatrywanym przedziale).

---

a)

$f\left(x\right)=3x^2-2x-1$  

Obliczmy wartości na krańcach przedziału $\left[0,2\right]$:

$f\left(0\right)=-1$

$f\left(2\right)=3\cdot 4-2\cdot 2-1=12-4-1=7$

Sprawdźmy, czy wierzchołek należy do rozpatrywanego przedziału:

$p=\frac{-b}{2a}=\frac{2}{2\cdot 3}=\frac{1}{3}\in \left[0,2\right]$

Obliczmy zatem $q$:

$q=f\left(p\right)=f\left(\frac{1}{3}\right)=3\cdot \frac{1}{9}-2\cdot \frac{1}{3}-1=\frac{1}{3}-\frac{2}{3}-1=-1\frac{1}{3}$

Wyznaczmy największą i najmniejszą wartość spośród $f\left(0\right)$, $f\left(2\right)$ i $q$:

wartość najmniejsza: $-1\frac{1}{3}$

wartość największa: $7$

---

b)

$f\left(x\right)=-\frac{3}{4}{x}^2+4x-1$  

Obliczmy wartości na krańcach przedziału $\left[-1,2\right]$:

$f\left(-1\right)=-\frac{3}{4}\cdot 1+4\cdot \left(-1\right)-1=-\frac{3}{4}-4-1=-5\frac{3}{4}$

$f\left(2\right)=-\frac{3}{4}\cdot 4+4\cdot 2-1=-3+8-1=4$

Sprawdźmy, czy wierzchołek należy do rozpatrywanego przedziału:

$p=\frac{-b}{2a}=\frac{-4}{2\cdot \left(-\frac{3}{4}\right)}=\frac{4}{\frac{3}{2}}=4\cdot \frac{2}{3}=\frac{8}{3}=2\frac{2}{3}\notin \left[-1,2\right]$

 Skoro $p$ nie należy do przedziału, nie liczymy $q$. Wartość najmniejsza i największa są wtedy przyjmowane na krańcach, czyli:

wartość najmniejsza: $-5\frac{3}{4}$

wartość największa: $4$