Dana jest funkcja:

$f\left(x\right)=\left|\left|2x-1\right|-\left|x\right|\right|-\frac{1}{4}$

Obliczmy miejsca zerowe tej funkcji:

$f\left(x\right)=0$

$\left|\left|2x-1\right|-\left|x\right|\right|-\frac{1}{4}=0$

$\left|\left|2x-1\right|-\left|x\right|\right|=\frac{1}{4}$

Opuszczając zewnętrzny moduł mamy:

$\left|2x-1\right|-\left|x\right|=\frac{1}{4}\vee \left|2x-1\right|-\left|x\right|=-\frac{1}{4}$

Miejsca zerowe wyrażeń w modułach do $\frac{1}{2}$ i $0$. Stwórzmy siatkę znaków:

Rozpatrzmy oba te równania w przedziale $\left(-\infty ;0\right)$:

$-2x+1+x=\frac{1}{4}\vee -2x+1+x=-\frac{1}{4}$

$-x+1=\frac{1}{4}-x+1=-\frac{1}{4}$

$-x=-\frac{3}{4}-x=-1\frac{1}{4}$

$x=\frac{3}{4}\notin \left(-\infty ;0\right)x=1\frac{1}{4}\notin \left(-\infty ;0\right)$

A zatem w tym przedziale nie ma miejsc zerowych funkcji $f$.

Rozpatrzmy teraz przedział $\left[0;\frac{1}{2}\right]$:

$-2x+1-x=\frac{1}{4}\vee -2x+1-x=-\frac{1}{4}$

$-3x+1=\frac{1}{4}-3x+1=-\frac{1}{4}$

$-3x=-\frac{3}{4}-3x=-1\frac{1}{4}$

$x=\frac{1}{4}\in \left[0;\frac{1}{2}\right]x=\frac{5}{12}\in \left[0;\frac{1}{2}\right]$

W tym przedziale funkcja $f$ ma dwa miejsca zerowe: $\frac{1}{4}$ i $\frac{5}{12}$.

Rozpatrzmy jeszcze przedział $\left(\frac{1}{2};\infty \right)$:

$2x-1-x=\frac{1}{4}\vee 2x-1-x=-\frac{1}{4}$

$x-1=\frac{1}{4}x-1=-\frac{1}{4}$

$x=1\frac{1}{4}\in \left(\frac{1}{2};\infty \right)x=\frac{3}{4}\in \left(\frac{1}{2};\infty \right)$

W tym przedziale funkcja $f$ ma kolejne dwa miejsca zerowe: $1\frac{1}{4}$ i $\frac{3}{4}$.

---

Łącznie funkcja $f$ ma $4$ miejsca zerowe:

$\frac{1}{4}$, $\frac{5}{12}$, $1\frac{1}{4}$, $\frac{3}{4}$

Obliczmy średnią arytmetyczną miejsc zerowych funkcji $f$:

$\frac{\frac{1}{4}+\frac{5}{12}+1\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}{4}=\frac{2\frac{1}{4}+\frac{5}{12}}{4}=\frac{2\frac{3}{12}+\frac{5}{12}}{4}=\frac{2\frac{8}{12}}{4}=2\frac{8}{12}:4=2\frac{2}{3}:4=\frac{8}{3}\cdot \frac{1}{4}=\underline{\underline{\frac{2}{3}}}$