Wyznacz wartości parametru m...- Zadanie 14: NOWA MATeMAtyka 2. Maturalne karty pracy. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

Dana jest funkcja:

$f (x) = \frac{3 x + m}{m x + 3}$

Żeby dziedziną funkcji $f$ był zbiór liczb rzeczywistych, wyrażenie znajdujące się w mianowniku ułamka (dla ustalonej wartości parametru $m \in R$ ) nie może mieć pierwiastków.

Wyrażenie $m x + 3$ jest liniowe. Rozpatrzmy równanie:

$m x + 3 = 0$

Parametr $m$ stoi przy najwyższej potędze $x$ . Rozpatrzmy zatem dwa przypadki:

I. $m = 0$

$0 \cdot x + 3 = 0$

$3 = 0$

Równanie sprzeczne, więc nie ma pierwiastków. Dla $m = 0$ warunki zadania są spełnione.

II. $m \neq = 0$

$m x + 3 = 0$

$m x = - 3 ∣ : m, m \neq = 0$

$x = - \frac{3}{m}$

Pierwiastkiem tego równania jest liczba $- \frac{3}{m}$ , więc $m \neq = 0$ nie spełnia warunków zadania.

Wniosek:

$m = 0$

$f (x) = \frac{x ^{4} - 3 m x ^{2} + 2}{( m + 1 ) x ^{2} - 4 m x + m + 1}$

Żeby dziedziną funkcji $f$ był zbiór liczb rzeczywistych, trójmian znajdujący się w mianowniku ułamka (dla ustalonej wartości parametru $m \in R$ ) nie może mieć pierwiastków.

Rozważmy przypadki (ze względu na wartość współczynnika przy $x^{2}$ ):

I. $m = - 1$

wówczas wyrażenie w mianowniku ułamka jest równe:

$(- 1 + 1) x^{2} - 4 \cdot (- 1) x - 1 + 1 = 4 x$

Dla $x = 0$ powyższe wyrażenie jest równe zero, czyli dla $m = - 1$ warunki zadania nie są spełnione.

II. $m \neq = - 1$

Trójmian kwadratowy znajdujący się w mianowniku ułamka nie ma pierwiastków, gdy $Δ < 0$ , czyli:

$Δ = (- 4 m)^{2} - 4 \cdot (m + 1) (m + 1) = 16 m^{2} - 4 (m + 1)^{2} =$

$= 16 m^{2} - 4 (m^{2} + 2 m + 1) = 16 m^{2} - 4 m^{2} - 8 m - 4 = 12 m^{2} - 8 m - 4$

$12 m^{2} - 8 m - 4 < 0 ∣ : 4$

$3 m^{2} - 2 m - 1 < 0$

$Δ_{m} = (- 2)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 1) = 4 + 12 = 16, Δ_{m} = 4$

$m_{1} = \frac{2 - 4}{6} = - \frac{2}{6} = - \frac{1}{3}$

$m_{2} = \frac{2 + 4}{6} = \frac{6}{6} = 1$

Pomocniczy rysunek:

Z rysunku odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$m \in (- \frac{1}{3}; 1)$

Jest to jednocześnie odpowiedź do tego podpunktu, ponieważ nie dostaliśmy innej wartości parametru $m$ w pierwszym przypadku.

$f (x) = \frac{m x ^{2} - 6 x + m - 8}{x ^{2} + 4 x + m + 1}$

Aby dziedziną funkcji $f$ był zbiór liczb rzeczywistych, wyrażenie pod pierwiastkiem (niezależnie od wartości parametru $m$ ) musi stale przyjmować wartości nieujemne, czyli musi zachodzić:

$\frac{m x ^{2} - 6 x + m - 8}{x ^{2} + 4 x + m + 1} \geq 0 dla x \in R$

Aby taka sytuacja miała miejsce, muszą być spełnione warunki:

trójmian znajdujący się w mianowniku ułamka (dla ustalonej wartości parametru $m \in R$ ) nie może mieć pierwiastków
$(m x^{2} - 6 x + m - 8) (x^{2} + 4 x + m + 1) \geq 0 dla x \in R$

Rozpatrzmy pierwszy warunek. Aby trójmian $x^{2} + 4 x + m + 1$ nie miał pierwiastków, musi zachodzić $Δ < 0$ , czyli:

$Δ = 4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (m + 1) = 16 - 4 m - 4 = 12 - 4 m$

$12 - 4 m < 0$

$4 m > 12$

$m > 3$

$m \in (3; \infty)$

Rozpatrzmy teraz drugi warunek. Mamy nierówność:

$(m x^{2} - 6 x + m - 8) (x^{2} + 4 x + m + 1) \geq 0$

Drugi czynnik to trójmian kwadratowy, który nie ma miejsc zerowych (bo w poprzednim warunku mamy gwarancję, że $Δ < 0$ ), a współczynnik przy $x^{2}$ jest dodatni. Oznacza to, że trójmian $x^{2} + 4 x + m + 1$ przyjmuje tylko wartości dodatnie, więc nierówność możemy podzielić obustronnie przez ten trójmian (znak nierówności się nie zmieni):

$(m x^{2} - 6 x + m - 8) (x^{2} + 4 x + m + 1) \geq 0 : (x^{2} + 4 x + m + 1)$

$m x^{2} - 6 x + m - 8 \geq 0$

Powyższa nierówność ma być spełniona dla każdego $x \in R$ . Z racji tego, że przy najwyższej potędze mamy parametr, rozpatrzmy dwa przypadki.

I. $m = 0$ (nierówność liniowa)

$0 \cdot x^{2} - 6 x + 0 - 8 \geq 0$

$- 6 x - 8 \geq 0$

$x \leq - \frac{8}{6}$

A zatem dla $m = 0$ rozwiązaniem tej nierówności nie jest zbiór liczb rzeczywistych (tylko przedział $(- \infty; - \frac{8}{6}]$ .

Wniosek: $m = 0$ nie spełnia warunków zadania.

II. $m \neq = 0$ (nierówność kwadratowa)

Aby trójmian kwadratowy stojący po lewej stronie nierówności przyjmował tylko wartości większe bądź równe $0$ , parabola musi być skierowana ramionami do góry i nie może mieć dwóch miejsc zerowych (albo jedno, albo wcale). Muszą zatem zachodzić warunki:

$a > 0 \land Δ \leq 0$