Rozwiąż nierówność...- Zadanie 14: NOWA MATeMAtyka 2. Maturalne karty pracy. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

$\frac{x ^{3} - 2 x ^{2} + x}{x ^{2} - 9} \geq 0$

$\frac{x ( x ^{2} - 2 x + 1 )}{( x - 3 ) ( x + 3 )} \geq 0$

$\frac{x ( x - 1 ) ^{2}}{( x - 3 ) ( x + 3 )} \geq 0 \cdot (x - 3)^{2} (x + 3)^{2}, x \neq = 3, x \neq = - 3$

$x (x - 1)^{2} (x - 3) (x + 3) \geq 0$

$x_{1} = 0, x_{2} = 1, x_{3} = 3, x_{4} = - 3$

Pomocniczy rysunek:

Z rysunku odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$x \in (- 3; 0] \cup {1} \cup (3; \infty)$

$\frac{x ^{3} - 1}{4 x ^{2} - 3 x - 1} \leq 0$

Dziedzina:

$4 x^{2} - 3 x - 1 \neq = 0$

$Δ = 9 - 4 \cdot 4 \cdot (- 1) = 9 + 16 = 25, Δ = 5$

$x_{1} \neq = \frac{3 - 5}{8} = - \frac{2}{8} = - \frac{1}{4}$

$x_{2} \neq = \frac{3 + 5}{8} = \frac{8}{8} = 1$

Wtedy:

$\frac{x ^{3} - 1}{4 x ^{2} - 3 x - 1} \leq 0$

$\frac{( x - 1 ) ( x ^{2} + x + 1 )}{4 ( x + \frac{1}{4} ) ( x - 1 )} \leq 0$

$\frac{x ^{2} + x + 1}{4 x + 1} \leq 0 \cdot (4 x + 1)^{2}$

$(x^{2} + x + 1) (4 x + 1) \leq 0$

$Δ < 0 x = - \frac{1}{4}$

Pomocniczy rysunek:

Z rysunku odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$x \in (- \infty; - \frac{1}{4})$

$\frac{x ^{3} - 2 x ^{2} - x + 2}{x ^{2} + x - 6} \geq 0$

$\frac{x ^{2} ( x - 2 ) - ( x - 2 )}{( x - 2 ) ( x + 3 )} \geq 0 x \neq = 2, x \neq = - 3$

$\frac{( x - 2 ) ( x ^{2} - 1 )}{( x - 2 ) ( x + 3 )} \geq 0$

$\frac{x ^{2} - 1}{x + 3} \geq 0 \cdot (x + 3)^{2}$

$(x^{2} - 1) (x + 3) \geq 0$

$(x - 1) (x + 1) (x + 3) \geq 0$

$x_{1} = 1, x_{2} = - 1, x_{3} = - 3$

Pomocniczy rysunek:

Z rysunku odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$x \in (- 3; - 1] \cup [1; 2) \cup (2; \infty)$

$\frac{x ^{3} + 4 x ^{2} - x - 4}{x ^{3} - 3 x ^{2} + x - 3} \leq 0$

$\frac{x ^{2} ( x + 4 ) - ( x + 4 )}{x ^{2} ( x - 3 ) + ( x - 3 )} \leq 0$

$\frac{( x + 4 ) ( x ^{2} - 1 )}{( x - 3 ) ( x ^{2} + 1 )} \leq 0$

Zauważmy, że $x^{2} + 1 > 0$ , więc wystarczy pomnożyć obie strony nierówności przez kwadrat liczby $(x - 3)$ i liczbę $(x^{2} + 1)$ (nie grozi nam zmiana znaku nierówności):

$\frac{( x + 4 ) ( x ^{2} - 1 )}{( x - 3 ) ( x ^{2} + 1 )} \leq 0 \cdot (x - 3)^{2} (x^{2} + 1), x \neq = 3$

$(x + 4) (x^{2} - 1) (x - 3) \leq 0$

$(x + 4) (x - 1) (x + 1) (x - 3) \leq 0$

$x_{1} = - 4, x_{2} = 1, x_{3} = - 1, x_{4} = 3$

Pomocniczy rysunek:

Z rysunku odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$x \in [- 4; - 1] \cup [1; 3)$

$\frac{x ^{5} + x ^{2}}{1 - x - 2 x ^{2}} > 0 ∣ \cdot (- 1)$

$\frac{x ^{2} ( x ^{3} + 1 )}{2 x ^{2} + x - 1} < 0$

Dziedzina:

$2 x^{2} + x - 1 \neq = 0$

$Δ = 1 - 4 \cdot 2 \cdot (- 1) = 9, Δ = 3$

$x_{1} \neq = \frac{- 1 - 3}{4} = - 1$

$x_{2} \neq = \frac{- 1 + 3}{4} = \frac{1}{2}$

W liczniku skorzystajmy jeszcze ze wzoru skróconego mnożenia na sumę sześcianów, a mianownik rozłóżmy na czynniki:

$\frac{x ^{2} ( x + 1 ) ( x ^{2} - x + 1 )}{2 ( x + 1 ) ( x - \frac{1}{2} )} < 0$

Skróćmy:

$\frac{x ^{2} ( x ^{2} - x + 1 )}{2 ( x - \frac{1}{2} )} < 0$

$\frac{x ^{2} ( x ^{2} - x + 1 )}{2 x - 1} < 0 \cdot (2 x - 1)^{2}, x \neq = \frac{1}{2}, x \neq = - 1$

$x^{2} (x^{2} - x + 1) (2 x - 1) < 0$

$x_{1} = 0 Δ < 0 x_{2} = \frac{1}{2}$

Pomocniczy rysunek:

Z rysunku odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$x \in (- \infty; - 1) \cup (- 1; 0) \cup (0; \frac{1}{2})$

$\frac{x ^{3} + x ^{2} - 4 x - 4}{2 x ^{2} - 5 x - 3} > 1$

Dziedzina:

$2 x^{2} - 5 x - 3 \neq = 0$

$Δ = 25 - 4 \cdot 2 \cdot (- 3) = 25 + 24 = 49, Δ = 7$

$x_{1} \neq = \frac{5 - 7}{4} = - \frac{2}{4} = - \frac{1}{2}$

$x_{2} \neq = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3$

Zapiszmy licznik i mianownik w postaci iloczynowej:

$\frac{x ^{2} ( x + 1 ) - 4 ( x + 1 )}{2 ( x + \frac{1}{2} ) ( x - 3 )} > 1$

$\frac{( x + 1 ) ( x ^{2} - 4 )}{( 2 x + 1 ) ( x - 3 )} > 1 \cdot (2 x + 1)^{2} (x - 3)^{2}, x \neq = - \frac{1}{2}, x \neq = 3$

$(x + 1) (x^{2} - 4) (2 x + 1) (x - 3) > (2 x + 1)^{2} (x - 3)^{2}$

$(x + 1) (x^{2} - 4) (2 x + 1) (x - 3) - (2 x + 1)^{2} (x - 3)^{2} > 0$

$(2 x + 1) (x - 3) [(x + 1) (x^{2} - 4) - (2 x + 1) (x - 3)] > 0$

$(2 x + 1) (x - 3) [x^{3} - 4 x + x^{2} - 4 - 2 x^{2} + 6 x - x + 3] > 0$

$(2 x + 1) (x - 3) [x^{3} - x^{2} + x - 1] > 0$

Rozłóżmy na czynniki wyrażenie $x^{3} - x^{2} + x - 1$ :

$x^{3} - x^{2} + x - 1 = x^{2} (x - 1) + (x - 1) = (x - 1) (x^{2} + 1)$

Wtedy:

$(2 x + 1) (x - 3) (x - 1) (x^{2} + 1) > 0$

$x_{1} = - \frac{1}{2}, x_{2} = 3, x_{3} = 1 Δ < 0$

Pomocniczy rysunek:

Z rysunku odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$x \in (- \frac{1}{2}; 1) \cup (3; \infty)$

$\frac{x ^{3} - 4 x ^{2} - 4 x + 1}{x ^{2} + 3 x + 2} < - 1$

$\frac{x ^{3} + 1 - 4 x ^{2} - 4 x}{x ^{2} + 3 x + 2} < - 1$

$\frac{( x + 1 ) ( x ^{2} - x + 1 ) - 4 x ( x + 1 )}{( x + 1 ) ( x + 2 )} < - 1$

$\frac{( x + 1 ) ( x ^{2} - x + 1 - 4 x )}{( x + 1 ) ( x + 2 )} < - 1 x \neq = - 1, x \neq = - 2$

Skracamy:

$\frac{x ^{2} - 5 x + 1}{x + 2} < - 1 \cdot (x + 2)^{2}$

$(x^{2} - 5 x + 1) (x + 2) < - (x + 2)^{2}$

$(x^{2} - 5 x + 1) (x + 2) + (x + 2)^{2} < 0$

$(x + 2) (x^{2} - 5 x + 1 + x + 2) < 0$

$(x + 2) (x^{2} - 4 x + 3) < 0$

$(x + 2) (x - 1) (x - 3) < 0$

$x_{1} = - 2, x_{2} = 1, x_{3} = 3$

Pomocniczy rysunek:

Z rysunku odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$x \in (- \infty; - 2) \cup (1; 3)$

$\frac{4}{x ^{2} - 5 x + 6} - \frac{3}{x ^{2} - 5 x + 4} < 1$

$\frac{4}{( x - 2 ) ( x - 3 )} - \frac{3}{( x - 1 ) ( x - 4 )} < 1 \cdot (x - 2)^{2} (x - 3)^{2} (x - 1)^{2} (x - 4)^{2}, x \neq = 2, x \neq = 3, x \neq = 1, x \neq = 4$

$4 (x - 2) (x - 3) (x - 1)^{2} (x - 4)^{2} - 3 (x - 2)^{2} (x - 3)^{2} (x - 1) (x - 4) < (x - 2)^{2} (x - 3)^{2} (x - 1)^{2} (x - 4)^{2}$

$4 (x - 2) (x - 3) (x - 1)^{2} (x - 4)^{2} - 3 (x - 2)^{2} (x - 3)^{2} (x - 1) (x - 4) - (x - 2)^{2} (x - 3)^{2} (x - 1)^{2} (x - 4)^{2} < 0$

$(x - 2) (x - 3) (x - 1) (x - 4) [4 (x - 1) (x - 4) - 3 (x - 2) (x - 3) - (x - 2) (x - 3) (x - 1) (x - 4)] < 0$

$(x - 2) (x - 3) (x - 1) (x - 4) [4 (x^{2} - 5 x + 4) - 3 (x^{2} - 5 x + 6) - (x^{2} - 5 x + 6) (x^{2} - 5 x + 4)] < 0$

$(x - 2) (x - 3) (x - 1) (x - 4) [4 x^{2} - 20 x + 16 - 3 x^{2} + 15 x - 18 - x^{4} + 5 x^{3} - 4 x^{2} + 5 x^{3} - 25 x^{2} + 20 x - 6 x^{2} + 30 x - 24] < 0$

$(x - 2) (x - 3) (x - 1) (x - 4) [- x^{4} + 10 x^{3} - 34 x^{2} + 45 x - 26] < 0 ∣ \cdot (- 1)$

$(x - 2) (x - 3) (x - 1) (x - 4) (x^{4} - 10 x^{3} + 34 x^{2} - 45 x + 26) > 0$

$x_{1} = 2, x_{2} = 3, x_{3} = 1, x_{4} = 4$

Ostatni czynnik przyjmuje jedynie wartości dodatnie (więc nie ma miejsc zerowych), bo możemy go zapisać w postaci:

$x^{4} - 10 x^{3} + 34 x^{2} - 45 x + 26 = \geq 0 (x^{2} - 5 x + \frac{9}{2})^{2} + \frac{23}{4} > 0$

Pomocniczy rysunek:

Z rysunku odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$x \in (- \infty; 1) \cup (2; 3) \cup (4; \infty)$

Pokażę Ci jeszcze, jak zrobić ten podpunkt innym sposobem.

W obu mianownikach mamy wspólne składniki. Oznaczmy je pomocniczo:

$t = x^{2} - 5 x$

wtedy:

$\frac{4}{t + 6} - \frac{3}{t + 4} < 1$

$\frac{4}{t + 6} < 1 + \frac{3}{t + 4}$

$\frac{4}{t + 6} < \frac{t + 4 + 3}{t + 4}$

$\frac{4}{t + 6} < \frac{t + 7}{t + 4} \cdot (t + 6)^{2} (t + 4)^{2}, t \neq = - 6, t \neq = - 4$

$4 (t + 6) (t + 4)^{2} < (t + 7) (t + 6)^{2} (t + 4)$

$4 (t + 6) (t + 4)^{2} - (t + 7) (t + 6)^{2} (t + 4) < 0$

$(t + 6) (t + 4) [4 (t + 4) - (t + 7) (t + 6)] < 0$

$(t + 6) (t + 4) [4 t + 16 - t^{2} - 13 t - 42] < 0$

$(t + 6) (t + 4) [- t^{2} - 9 t - 26] < 0 ∣ \cdot (- 1)$

$(t + 6) (t + 4) (t^{2} + 9 t + 26) > 0$

$Δ = 81 - 4 \cdot 26 < 0$

więc możemy podzielić obustronnie przez ostatni czynnik (bo przyjmuje tylko wartości dodatnie):

$(t + 6) (t + 4) > 0$

i wracamy z podstawieniem:

$(x^{2} - 5 x + 6) (x^{2} - 5 x + 4) > 0$

$(x - 2) (x - 3) (x - 1) (x - 4) > 0$

Pozostała część zadania (czyli miejsca zerowe i wykres) przebiega już tak samo, jak wyżej.

Ewelina Treszczyńska

Nauczyciel matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Metoda graficzna rozwiązywania równań

Premium

8:44

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Podstawowe pojęcia dotyczące nierówności

Premium

14:18

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Metoda graficzna

Premium

10:25

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.