a)

Do wykresu funkcji $f\left(x\right)=\frac{a}{x}$ należy punkt $P=\left(8,\frac{1}{2}\right)$. Wyznaczmy wzór funkcji $f$:

$\frac{1}{2}=\frac{a}{8}|\cdot 8$

$a=\frac{1}{2}\cdot 8=4$

Zatem:

$f\left(x\right)=\frac{4}{x}$

Naszkicujmy wykres funkcji $f$:

Funkcja jest malejąca w przedziałach $\left(-\infty ,0\right),\left(0,\infty \right)$.

Pozostało jeszcze obliczyć wartość funkcji $f$ dla argumentu $x=0,4$:

$f\left(0,4\right)=\frac{4}{0,4}=\frac{40}{4}=10$

---

b)

Do wykresu funkcji $f\left(x\right)=\frac{a}{x}$ należy punkt $P=\left(\frac{2}{3},-12\right)$. Wyznaczmy wzór funkcji $f$:

$-12=\frac{a}{\frac{2}{3}}|\cdot \frac{2}{3}$

$a=-12\cdot \frac{2}{3}=-8$

Zatem:

$f\left(x\right)=-\frac{8}{x}$

Naszkicujmy wykres funkcji $f$:

Funkcja jest rosnąca w przedziałach $\left(-\infty ,0\right),\left(0,\infty \right)$.

Uwaga!!!

Odpowiedź z tyłu książki odnośnie monotoniczności tej funkcji jest błędna.

Pozostało jeszcze obliczyć wartość funkcji $f$ dla argumentu $x=0,4$:

$f\left(0,4\right)=-\frac{8}{0,4}=-\frac{80}{4}=-20$

---

c)

Do wykresu funkcji $f\left(x\right)=\frac{a}{x}$ należy punkt $P=\left(\sqrt[3]{0,25},\sqrt[3]{0,5}\right)$. Wyznaczmy wzór funkcji $f$:

$\sqrt[3]{0,5}=\frac{a}{\sqrt[3]{0,25}}|\cdot \sqrt[3]{0,25}$

$a=\sqrt[3]{0,5}\cdot \sqrt[3]{0,25}=\sqrt[3]{0,5\cdot 0,25}=\sqrt[3]{0,125}=0,5$

Zatem:

$f\left(x\right)=\frac{0,5}{x}=\frac{\frac{1}{2}}{x}=\frac{1}{2x}$

Uwaga!!!

Odpowiedź z tyłu książki odnośnie wzoru tej funkcji jest błędna.

Naszkicujmy wykres funkcji $f$:

Funkcja jest malejąca w przedziałach $\left(-\infty ,0\right),\left(0,\infty \right)$.

Pozostało jeszcze obliczyć wartość funkcji $f$ dla argumentu $x=0,4$:

$f\left(0,4\right)=\frac{1}{2\cdot 0,4}=\frac{1}{0,8}=\frac{10}{8}=\frac{5}{4}$

---

d)

Do wykresu funkcji $f\left(x\right)=\frac{a}{x}$ należy punkt $P=\left(\sqrt{3}-2,4+2\sqrt{3}\right)$. Wyznaczmy wzór funkcji $f$:

$4+2\sqrt{3}=\frac{a}{\sqrt{3}-2}|\cdot \left(\sqrt{3}-2\right)$

$a=\left(4+2\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{3}-2\right)=2\left(2+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{3}-2\right)=2\left(\sqrt{3}+2\right)\left(\sqrt{3}-2\right)=$
$=2\left({\sqrt{3}}^2-2^2\right)=2\left(3-4\right)=2\cdot \left(-1\right)=-2$

Zatem:

$f\left(x\right)=-\frac{2}{x}$

Naszkicujmy wykres funkcji $f$:

Funkcja jest rosnąca w przedziałach $\left(-\infty ,0\right),\left(0,\infty \right)$.

Pozostało jeszcze obliczyć wartość funkcji $f$ dla argumentu $x=0,4$:

$f\left(0,4\right)=-\frac{2}{0,4}=-\frac{20}{4}=-5$