Sprowadzamy równanie do prostszej postaci. Korzystamy z własności wartości bezwzględnej.

$\left|4x-8\right|=\left|4\left(x-2\right)\right|=\left|4\right|\cdot |x-2|=4\left|x-2\right|$

$\left|2-x\right|=\left|-\left(x-2\right)\right|=\left|x-2\right|$

To oznacza, że równanie przyjmuje postać

$4\left|x-2\right|+\left|x-2\right|=\left|x-2\right|+\left|x+2\right|+4$

$5\left|x-2\right|-\left|x-2\right|=\left|x+2\right|+4$

$4\left|x-2\right|=\left|x+2\right|+4$

Zauważmy, że w równaniu mamy wartości bezwzględne z dwóch różnych wyrażeń. Z definicji wartości bezwzględnej otrzymujemy, że

$|x-2|=\{\begin{array}{l}\begin{array}{lll}x-2,& \text{gdy}& x\ge 2\\ -x+2,& \text{gdy}& x<2\end{array}\end{array}$

$|x+2|=\{\begin{array}{l}\begin{array}{lll}x+2,& \text{gdy}& x\ge -2\\ -x-2,& \text{gdy}& x<-2\end{array}\end{array}$

Sporządźmy rysunek pomocniczy, na którym zaznaczymy, dla jakich $x$ wyrażenia będące pod symbolem wartości bezwzględnej przyjmują wartości ujemne, a dla jakich nieujemne.

Rysunek:

Rozważamy trzy przypadki: 

1) $x\in \left(-\infty ,-2\right)$ 

Równanie wtedy sprowadza się do postaci:

$4\cdot \underset{|x-2|}{\underbrace{(-x+2)}}=\underset{|x+2|}{\underbrace{-x-2}}+4$

$-4x+8=-x+2$

$-4x+x=2-8$

$-3x=-6|:\left(-3\right)$

$x=2\notin (-\infty ,-2)$

Otrzymana liczba nie należy do rozważanego w tym przypadku przedziału, więc nie jest rozwiązaniem równania.

2) $x\in \left[-2,2\right)$ 

$4\cdot \underset{|x-2|}{\underbrace{(-x+2)}}=\underset{|x+2|}{\underbrace{x+2}}+4$

$-4x+8=x+6$

$-4x-x=6-8$

$-5x=-2|:\left(-5\right)$

$x=\frac{2}{5}\in \left[-2,2\right)$

Otrzymana liczba należy do rozważanego w tym przypadku przedziału, więc jest rozwiązaniem równania.

3) $x\in \left[2,\infty \right)$ 

$4\cdot \underset{|x-2|}{\underbrace{(x-2)}}=\underset{|x+2|}{\underbrace{x+2}}+4$

$4x-8=x+6$

$4x-x=6+8$

$3x=14|:3$

$x=\frac{14}{3}=4\frac{2}{3}\in \left[2,\infty \right)$

Otrzymana liczba należy do rozważanego w tym przypadku przedziału, więc jest rozwiązaniem równania.

Odpowiedzią do zadania będzie suma zbiorów rozwiązań z trzech rozważanych przypadków.

---

Odp. $x\in \left\{\frac{2}{5},4\frac{2}{3}\right\}$