a)

Rysunek pomocniczy:

---

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa i obliczamy długość przeciwprostokątnej:

$c^2=5^2+6^2$

$c^2=25+36$

$c^2=61$

Długości są dodatnie, więc:

$c=\boxed{\sqrt{61}\left[\text{cm}\right]}$

---

Zauważmy, że stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta $\alpha$ do długości przyprostokątnej leżącej przy kącie $\alpha$ jest równy:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{5}{6}$

Korzystamy z kalkulatora i otrzymujemy, że:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{5}{6}\approx 0,8333$

Korzystamy z tablic wartości funkcji trygonometrycznych (znajdują się na końcu książki) i odczytujemy z nich, że:

$\mathrm{tg}39^{\circ }\approx 0,8098$

$\mathrm{tg}40^{\circ }\approx 0,8391$

Widzimy, że spośród powyższych "bliżej" $0,8333$ jest $0,8391$.

Oznacza to, że:

$\alpha \approx \boxed{40^{\circ }}$

Wiemy, że suma miar kątów w trójkącie jest równa $180^{\circ }$, więc:

$\beta =180^{\circ }-90^{\circ }-\alpha =90^{\circ }-\alpha \approx 90^{\circ }-40^{\circ }=\boxed{50^{\circ }}$

---

---

b)

Rysunek pomocniczy:

---

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa i obliczamy długość przeciwprostokątnej:

$c^2=2^2+{\left(2\sqrt{3}\right)}^2$

$c^2=4+4\cdot 3$

$c^2=4+12$

$c^2=16$

Długości są dodatnie, więc:

$c=\sqrt{16}$

$c=\boxed{4}$

---

Zauważmy, że stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta $\alpha$ do długości przyprostokątnej leżącej przy kącie $\alpha$ jest równy:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{2}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

Korzystamy z kalkulatora i otrzymujemy, że:

$\mathrm{tg}\alpha \approx 0,5774$

Korzystamy z tablic wartości funkcji trygonometrycznych (znajdują się na końcu książki) i odczytujemy z nich, że:

$\mathrm{tg}30^{\circ }\approx 0,5774$

Zatem:

$\alpha =\boxed{30^{\circ }}$

Wiemy, że suma miar kątów w trójkącie jest równa $180^{\circ }$, więc:

$\beta =180^{\circ }-90^{\circ }-\alpha =90^{\circ }-\alpha =90^{\circ }-30^{\circ }=\boxed{60^{\circ }}$

---

Uwaga. Można było też od razu zauważyć, że mamy do czynienia z trójkątem o kątach $30^{\circ }$, $60^{\circ }$, $90^{\circ }$ (rysunek poniżej):