a)

Przyprostokątne trójkąta mają długości:

$a=5$

$b=12$

Przyjmijmy, że:

$c$ - długość przeciwprostokątnej trójkąta

Z twierdzenia Pitagorasa wiemy, że w trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej:

$a^2+b^2=c^2$

Otrzymujemy, że:

$c^2=5^2+12^2$

$c^2=25+144$

$c^2=169$

Długości są dodatnie, więc:

$c=\boxed{13}$

---

b)

Przyprostokątne trójkąta mają długości:

$a=2\sqrt{3}$

$b=3\sqrt{2}$

Przyjmijmy, że:

$c$ - długość przeciwprostokątnej trójkąta

Z twierdzenia Pitagorasa wiemy, że w trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej:

$a^2+b^2=c^2$

Otrzymujemy, że:

$c^2={\left(2\sqrt{3}\right)}^2+{\left(3\sqrt{2}\right)}^2$

$c^2=4\cdot 3+9\cdot 2$

$c^2=12+18$

$c^2=30$

Długości są dodatnie, więc:

$c=\boxed{\sqrt{30}}$

---

c)

Przyprostokątne trójkąta mają długości:

$a=4-\sqrt{2}$

$b=4+\sqrt{2}$

Przyjmijmy, że:

$c$ - długość przeciwprostokątnej trójkąta

Z twierdzenia Pitagorasa wiemy, że w trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej:

$a^2+b^2=c^2$

Otrzymujemy, że:

$c^2={\left(4-\sqrt{2}\right)}^2+{\left(4+\sqrt{2}\right)}^2$

Korzystamy ze wzorów skróconego mnożenia na kwadrat różnicy i kwadrat sumy:

$c^2=4^2-2\cdot 4\cdot \sqrt{2}+{\left(\sqrt{2}\right)}^2+4^2+2\cdot 4\cdot \sqrt{2}+{\left(\sqrt{2}\right)}^2$

$c^2=16-8\sqrt{2}+2+16+8\sqrt{2}+2$

$c^2=36$

Długości są dodatnie, więc:

$c=\boxed{6}$