a)

Założenie:

$2x-5\ne 0$

$2x\ne 5$

$x\ne \frac{5}{2}$

$x\ne 2\frac{1}{2}$

Rozwiązujemy równanie.

$\frac{4x+3}{2x-5}=4|\cdot \left(2x-5\right)$

$4x+3=8x-20|-8x-3$

$-4x=-23|:\left(-4\right)$

$x=\frac{23}{4}$

$x=5\frac{3}{4}$

---

b)

Założenie:

$2x+3\ne 0$

$2x\ne -3$

$x\ne -\frac{3}{2}$

$x\ne -1\frac{1}{2}$

Rozwiązujemy równanie.

$\frac{2x-3}{2x+3}=1|\cdot \left(2x+3\right)$

$2x-3=2x+3|-2x$

$-3=3$

Otrzymaliśmy sprzeczność, zatem równanie nie ma rozwiązań.

---

c)

Założenie:

$12-16x\ne 0$

$-16x\ne -12$

$x\ne \frac{12}{16}$

$x\ne \frac{3}{4}$

Rozwiązujemy równanie.

$\frac{8x-6}{12-16x}=\frac{1}{2}$

Mnożymy "na krzyż".

$2\cdot \left(8x-6\right)=1\cdot \left(12-16x\right)$

$16x-12=12-16x|+16x+12$

$32x=24|:32$

$x=\frac{24}{32}$

$x=\frac{3}{4}\notin D$

Zauważmy, że powyższy wynik nie należy do dziedziny, zatem równanie nie ma rozwiązań.

---

d)

Założenie:

$x-2\ne 0,x+2\ne 0$

$x\ne 2,x\ne -2$

Rozwiązujemy równanie.

$\frac{3}{x-2}=\frac{4}{x+2}$

Mnożymy "na krzyż".

$3\cdot \left(x+2\right)=4\cdot \left(x-2\right)$

$3x+6=4x-8|-4x-6$

$-1x=-14|:\left(-1\right)$

$x=14$

---

e)

Założenie:

$2x-4\ne 0,3x+5\ne 0$

$2x\ne 4,3x\ne -5$

$x\ne 2,x\ne -\frac{5}{3}$

$x\ne 2,x\ne -1\frac{2}{3}$

Rozwiązujemy równanie.

$\frac{5}{2x-4}=\frac{6}{3x+5}$

Mnożymy "na krzyż".

$5\cdot \left(3x+5\right)=6\cdot \left(2x-4\right)$

$15x+25=12x-24|-12x-25$

$3x=-49|:3$

$x=-\frac{49}{3}$

$x=-16\frac{1}{3}$

---

f)

Założenie:

$x+1\ne 0,x+4\ne 0$

$x\ne -1,x\ne -4$

Rozwiązujemy równanie.

$\frac{4-x}{x+1}=\frac{10-3x}{x+4}$

Mnożymy "na krzyż".

$\left(4-x\right)\cdot \left(x+4\right)=\left(10-3x\right)\cdot \left(x+1\right)$

$4x+16-x^2-4x=10x+10-3x^2-3x$

$-x^2+16=-3x^2+7x+10|+3x^2-7x-10$

$2x^2-7x+6=0$

$\Delta ={\left(-7\right)}^2-4\cdot 2\cdot 6=49-48=1$

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{1}=1$

$x_1=\frac{-\left(-7\right)-1}{2\cdot 2}=\frac{7-1}{4}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$

$x_2=\frac{-\left(-7\right)+1}{2\cdot 2}=\frac{7+1}{4}=\frac{8}{4}=2$

---

g)

Założenie:

$2x+1\ne 0,x+3\ne 0$

$2x\ne -1,x\ne -3$

$x\ne -\frac{1}{2},x\ne -3$

Rozwiązujemy równanie.

$\frac{2x-5}{2x+1}=\frac{x-1}{x+3}$

Mnożymy "na krzyż".

$\left(2x-5\right)\cdot \left(x+3\right)=\left(x-1\right)\cdot \left(2x+1\right)$

$2x^2+6x-5x-15=2x^2+x-2x-1$

$2x^2+x-15=2x^2-x-1|-2x^2+x$

$2x-15=-1|+15$

$2x=14|:2$

$x=7$

---

h)

Założenie:

$2x\ne 0,x-4\ne 0$

$x\ne 0,x\ne 4$

Rozwiązujemy równanie.

$\frac{x+4}{2x}=\frac{x+4}{x-4}$

Mnożymy "na krzyż".

$\left(x+4\right)\cdot \left(x-4\right)=\left(x+4\right)\cdot 2x$

$x^2-4x+4x-16=2x^2+8x$

$x^2-16=2x^2+8x|-2x^2-8x$

$-x^2-8x-16=0|:\left(-1\right)$

$x^2+8x+16=0$

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy.

${\left(x+4\right)}^2=0$

$x+4=0|-4$

$x=-4$

---

i)

Założenie:

$5x-2\ne 0,x-1\ne 0$

$5x\ne 2,x\ne 1$

$x\ne \frac{2}{5},x\ne 1$

Rozwiązujemy równanie.

$\frac{5x}{5x-2}=\frac{x+1}{x-1}$

Mnożymy "na krzyż".

$5x\cdot \left(x-1\right)=\left(x+1\right)\cdot \left(5x-2\right)$

$5x^2-5x=5x^2-2x+5x-2|-5x^2$

$-5x=3x-2|-3x$

$-8x=-2|:\left(-8\right)$

$x=\frac{1}{4}$