a)

Dany jest wielomian:

$w\left(x\right)=\left(x-2\right)\left(x-5+x^2\right)$

Wiemy, że stopień wielomianu będącego iloczynem wielomianów jest sumą stopni tych wielomianów.

Zauważmy, że jeden wielomian jest stopnia pierwszego, a drugi jest stopnia drugiego, więc:

$st\left(w\right)=1+2=\boxed{3}$

Wyznaczamy wyraz wolny wielomianu $w$ (mnożymy wyrazy wolne dwóch wielomianów):

$a_0=\left(-2\right)\cdot \left(-5\right)=\boxed{10}$

Wyznaczamy współczynnik przy najwyższej potędze zmiennej $x$ wielomianu $w$ (mnożymy współczynniki przy najwyższych potęgach zmiennej $x$  dwóch wielomianów):

$a_3=1\cdot 1=\boxed{1}$

---

b)

Dany jest wielomian:

$w\left(x\right)=\left(3-x^2\right)\left(1-x+2x^2\right)$

Wiemy, że stopień wielomianu będącego iloczynem wielomianów jest sumą stopni tych wielomianów.

Zauważmy, że oba wielomiany są stopnia drugiego, więc:

$st\left(w\right)=2+2=\boxed{4}$

Wyznaczamy wyraz wolny wielomianu $w$ (mnożymy wyrazy wolne dwóch wielomianów):

$a_0=3\cdot 1=\boxed{3}$

Wyznaczamy współczynnik przy najwyższej potędze zmiennej $x$ wielomianu $w$ (mnożymy współczynniki przy najwyższych potęgach zmiennej $x$ dwóch wielomianów):

$a_4=\left(-1\right)\cdot 2=\boxed{-2}$

---

c)

Dany jest wielomian:

$w\left(x\right)=\left(5x^3-1\right)\left(3-x-x^3\right)$

Wiemy, że stopień wielomianu będącego iloczynem wielomianów jest sumą stopni tych wielomianów.

Zauważmy, że oba wielomiany są stopnia trzeciego, więc:

$st\left(w\right)=3+3=\boxed{6}$

Wyznaczamy wyraz wolny wielomianu $w$ (mnożymy wyrazy wolne dwóch wielomianów):

$a_0=\left(-1\right)\cdot 3=\boxed{-3}$

Wyznaczamy współczynnik przy najwyższej potędze zmiennej $x$ wielomianu $w$ (mnożymy współczynniki przy najwyższych potęgach zmiennej $x$ dwóch wielomianów):

$a_6=5\cdot \left(-1\right)=\boxed{-5}$

---

d)

Dany jest wielomian:

$w\left(x\right)=\left(x-5\right)\left(x+1\right)\left(2-x\right)$

Wiemy, że stopień wielomianu będącego iloczynem wielomianów jest sumą stopni tych wielomianów.

Zauważmy, że wszystkie trzy wielomiany są stopnia pierwszego, więc:

$st\left(w\right)=1+1+1=\boxed{3}$

Wyznaczamy wyraz wolny wielomianu $w$ (mnożymy wyrazy wolne trzech wielomianów):

$a_0=\left(-5\right)\cdot 1\cdot 2=\boxed{-10}$

Wyznaczamy współczynnik przy najwyższej potędze zmiennej $x$ wielomianu $w$ (mnożymy współczynniki przy najwyższych potęgach zmiennej $x$ trzech wielomianów):

$a_3=1\cdot 1\cdot \left(-1\right)=\boxed{-1}$

---

e)

Dany jest wielomian:

$w\left(x\right)=\left(4x^2-1\right)\left(x+3\right)\left(1-x^2\right)$

Wiemy, że stopień wielomianu będącego iloczynem wielomianów jest sumą stopni tych wielomianów.

Zauważmy, że dwa wielomiany są stopnia drugiego i jeden jest stopnia pierwszego, więc:

$st\left(w\right)=2+1+2=\boxed{5}$

Wyznaczamy wyraz wolny wielomianu $w$ (mnożymy wyrazy wolne trzech wielomianów):

$a_0=\left(-1\right)\cdot 3\cdot 1=\boxed{-3}$

Wyznaczamy współczynnik przy najwyższej potędze zmiennej $x$ wielomianu $w$ (mnożymy współczynniki przy najwyższych potęgach zmiennej $x$ trzech wielomianów):

$a_5=4\cdot 1\cdot \left(-1\right)=\boxed{-4}$

---

f)

Dany jest wielomian:

$w\left(x\right)=\left(x^3+x\right)\left(2-x^2\right)\left(2x-4\right)$

Wiemy, że stopień wielomianu będącego iloczynem wielomianów jest sumą stopni tych wielomianów.

Zauważmy, że jeden wielomian jest stopnia trzeciego, drugi jest stopnia drugiego, a trzeci jest stopnia pierwszego, więc:

$st\left(w\right)=3+2+1=\boxed{6}$

Wyznaczamy wyraz wolny wielomianu $w$ (mnożymy wyrazy wolne trzech wielomianów):

$a_0=0\cdot 2\cdot \left(-4\right)=\boxed{0}$

Wyznaczamy współczynnik przy najwyższej potędze zmiennej $x$ wielomianu $w$ (mnożymy współczynniki przy najwyższych potęgach zmiennej $x$ trzech wielomianów):

$a_6=1\cdot \left(-1\right)\cdot 2=\boxed{-2}$