Wielomianem stopnia $n$ ($n\in {\mathbb{N}}_{+}$) nazywamy funkcję zmiennej rzeczywistej $x$ daną wzorem: $w\left(x\right)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0$, gdzie $a_n\ne 0$. Współczynnikami wielomianu nazywamy liczby: $a_n,a_{n-1},\dots ,a_1,a_0$.

---

Wielomian stopnia trzeciego jest postaci:

$w\left(x\right)=a_3{x}^3+a_2{x}^2+a_{1}x+a_0$

Zwróćmy uwagę, że $a_3\ne 0$.

Wiemy, że jedynie dwa współczynniki są różne od zera, więc:

$\{\begin{array}{l}{a}_3\ne 0\\ a_2\ne 0\\ a_1=0\\ a_0=0\end{array}\text{lub}\{\begin{array}{l}{a}_3\ne 0\\ a_2=0\\ a_1\ne 0\\ a_0=0\end{array}\text{lub}\{\begin{array}{l}{a}_3\ne 0\\ a_2=0\\ a_1=0\\ a_0\ne 0\end{array}$

Zatem szukany wielomian ma jedną z trzech postaci:

• $w\left(x\right)=a_3{x}^3+a_2{x}^2$
• $w\left(x\right)=a_3{x}^3+a_{1}x$
• $w\left(x\right)=a_3{x}^3+a_0$

Wystarczy wybrać jeden z powyższych trzech przypadków.

---

Przypadek 1.

Wielomian jest postaci:

$w\left(x\right)=a_3{x}^3+a_2{x}^2$

Wiemy, że:

$w\left(-6\right)=1$

Zatem:

$a_3\cdot {\left(-6\right)}^3+a_2\cdot {\left(-6\right)}^2=1$

$-216a_3+36a_2=1$

Stąd możemy wyznaczyć $a_2$:

$36a_2=1+216a_3|:36$

$a_2=\frac{1}{36}+6a_3$

Czyli wystarczy wybrać różną od zera liczbę $a_3$ i obliczyć, ile wynosi $a_2$, a następnie zapisać wielomian $w$.

Na przykład:

Niech:

$a_3=2$

Wtedy:

$a_2=\frac{1}{36}+6\cdot 2=\frac{1}{36}+12=12\frac{1}{36}$

Otrzymujemy:

$\boxed{w\left(x\right)=2x^3+12\frac{1}{36}{x}^2}$

---

Przypadek 2.

Wielomian jest postaci:

$w\left(x\right)=a_3{x}^3+a_{1}x$

Wiemy, że:

$w\left(-6\right)=1$

Zatem:

$a_3\cdot {\left(-6\right)}^3+a_1\cdot \left(-6\right)=1$

$-216a_3-6a_1=1$

Stąd możemy wyznaczyć $a_1$:

$-6a_1=1+216a_3|:(-6)$

$a_1=-\frac{1}{6}-36a_3$

Czyli wystarczy wybrać różną od zera liczbę $a_3$ i obliczyć, ile wynosi $a_1$, a następnie zapisać wielomian $w$.

Na przykład:

Niech:

$a_3=\frac{1}{6}$

Wtedy:

$a_1=-\frac{1}{6}-36\cdot \frac{1}{6}=-\frac{1}{6}-6=-6\frac{1}{6}$

Otrzymujemy:

$\boxed{w\left(x\right)=\frac{1}{6}{x}^3-6\frac{1}{6}x}$

---

Przypadek 3.

Wielomian jest postaci:

$w\left(x\right)=a_3{x}^3+a_0$

Wiemy, że:

$w\left(-6\right)=1$

Zatem:

$a_3\cdot {\left(-6\right)}^3+a_0=1$

$-216a_3+a_0=1$

Stąd możemy wyznaczyć $a_0$:

$a_0=1+216a_3$

Czyli wystarczy wybrać różną od zera liczbę $a_3$ i obliczyć, ile wynosi $a_0$, a następnie zapisać wielomian $w$.

Na przykład:

$a_3=1$

Wtedy:

$a_0=1+216\cdot 1=1+216=217$

Otrzymujemy:

$\boxed{w\left(x\right)=x^3+217}$