a)

Wiemy, że:

$u\left(x\right)=2x^4-3x+6$

$w\left(x\right)=a{x}^6+5x^2+4$

Wyznaczamy wielomian $u+w$:

$u\left(x\right)+w\left(x\right)=\left(2x^4-3x+6\right)+\left(a{x}^6+5x^2+4\right)=$

$=2x^4-3x+6+a{x}^6+5x^2+4=$

$=a{x}^6+2x^4+5x^2-3x+10$

Zauważmy, że:

• dla $\boxed{a\ne 0}$:

$u\left(x\right)+w\left(x\right)=a{x}^6+2x^4+5x^2-3x+10$

$\boxed{st\left(u+w\right)=6}$

• dla $\boxed{a=0}$:

$u\left(x\right)+w\left(x\right)=2x^4+5x^2-3x+10$

$\boxed{st\left(u+w\right)=4}$

---

b)

Wiemy, że:

$u\left(x\right)=3x^6-a{x}^5+2x^2-x$

$w\left(x\right)=-3x^6-6x^5-2x^2+9$

Wyznaczamy wielomian $u+w$:

$u\left(x\right)+w\left(x\right)=\left(3x^6-a{x}^5+2x^2-x\right)+\left(-3x^6-6x^5-2x^2+9\right)=$

$=3x^6-a{x}^5+2x^2-x-3x^6-6x^5-2x^2+9=$

$=\left(-a-6\right)x^5-x+9$

Zauważmy, że:

• dla $-a-6\ne 0$, czyli dla $\boxed{a\ne -6}$:

$u\left(x\right)+w\left(x\right)=\left(-a-6\right)x^5-x+9$

$\boxed{st\left(u+w\right)=5}$

• dla $-a-6=0$, czyli dla $\boxed{a=-6}$:

$u\left(x\right)+w\left(x\right)=-x+9$

$\boxed{st\left(u+w\right)=1}$