Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem:

$f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$  

Wykresem funkcji kwadratowej $f$ jest parabola. Z treści zadania wiemy, że ma ona dokładnie jeden punkt wspólny z prostą o równaniu $y=6$. Oznacza to, że druga współrzędna wierzchołka paraboli jest równa $6$:

$q=6$  

Punkty $A=\left(-5,0\right)$ i $B=\left(3,0\right)$ należą do wykresu funkcji $f$.

Zauważmy, że drugie współrzędne punktów $A$ i $B$ są równe $0$, więc miejsca zerowe funkcji $f$ to:

$x_1=-5$  

$x_2=3$  

Wyznaczamy pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji $f$:

$p=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{-5+3}{2}=\frac{-2}{2}=-1$  

Zapisujemy wzór funkcji kwadratowej $f$ w postaci kanonicznej:

$f\left(x\right)=a{\left(x-p\right)}^2+q$  

$f\left(x\right)=a{\left(x-\left(-1\right)\right)}^2+6$  

$f\left(x\right)=a{\left(x+1\right)}^2+6$  

Wiemy, że do wykresu funkcji należy punkt $B=\left(3,0\right)$, więc:

$f\left(3\right)=0$  

Stąd:

$a{\left(3+1\right)}^2+6=0$  

$a\cdot 4^2+6=0$  

$16a+6=0$  

$16a=-6\mid :16$  

$a=-\frac{6}{16}$  

$a=-\frac{3}{8}$  

Zatem:

$f\left(x\right)=-\frac{3}{8}{\left(x+1\right)}^2+6$  

$f\left(x\right)=-\frac{3}{8}\left(x^2+2x+1\right)+6$  

$f\left(x\right)=-\frac{3}{8}{x}^2-\frac{6}{8}x-\frac{3}{8}+6$  

$f\left(x\right)=-\frac{3}{8}{x}^2-\frac{3}{4}x+5\frac{5}{8}$   

Odp.: $a=-\frac{3}{8}$, $b=-\frac{3}{4}$, $c=5\frac{5}{8}$