a)

Kąt pełny ma $360^{\circ }$, więc kąt środkowy oparty na tym samym łuku, co kąt wpisany $\alpha$, ma miarę:

$360^{\circ }-100^{\circ }=260^{\circ }$

Kąt wpisany ma miarę dwa razy mniejszą od miary kąta środkowego opartego na tym samym łuku, więc:

$\alpha =260^{\circ }:2=\boxed{130^{\circ }}$

---

b)

Kąt wpisany ma miarę dwa razy mniejszą od miary kąta środkowego opartego na tym samym łuku.

Kąty wierzchołkowe mają równe miary.

Rysunek pomocniczy:

Zauważmy, że sumy miar kątów w obu trójkątach są sobie równe (wynoszą po $180^{\circ }$), więc możemy zapisać, że:

$\alpha +\beta +20^{\circ }=\frac{\alpha }{2}+\beta +40^{\circ }|-\beta$

$\alpha +20^{\circ }=\frac{\alpha }{2}+40^{\circ }$

$\alpha -\frac{\alpha }{2}=40^{\circ }-20^{\circ }$

$\frac{\alpha }{2}=20^{\circ }|\cdot 2$

$\alpha =\boxed{40^{\circ }}$

---

c)

Dorysujmy promień okręgu.

Rysunek pomocniczy:

W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie mają równe miary.

Suma miar kątów w trójkącie jest równa $180^{\circ }$, więc kąt między ramionami ma miarę:

$180^{\circ }-2\cdot 20^{\circ }=180^{\circ }-40^{\circ }=140^{\circ }$

Rysunek pomocniczy:

Kąt pełny ma $360^{\circ }$, więc kąt środkowy oparty na tym samym łuku, co kąt wpisany $\alpha$, ma miarę:

$360^{\circ }-140^{\circ }=220^{\circ }$

Kąt wpisany ma miarę dwa razy mniejszą od miary kąta środkowego opartego na tym samym łuku, więc:

$\alpha =220^{\circ }:2=\boxed{110^{\circ }}$

---

d)

Dorysujmy promień okręgu.

Rysunek pomocniczy:

W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie mają równe miary.

Rysunek pomocniczy:

Obliczamy miarę kąta wpisanego opartego na tym samym łuku, co kąt środkowy $\alpha$:

$20^{\circ }+50^{\circ }=70^{\circ }$

Kąt środkowy ma miarę dwa razy większą od miary kąta wpisanego opartego na tym samym łuku, więc:

$\alpha =2\cdot 70^{\circ }=\boxed{140^{\circ }}$

---

e)

Dorysujmy dwa promienie okręgu.

Rysunek pomocniczy:

Trójkąt równoramienny, którego kąt przy podstawie ma miarę $60^{\circ }$, jest równoboczny.

Kąt środkowy ma miarę dwa razy większą od miary kąta wpisanego opartego na tym samym łuku.

Zatem kąt środkowy oparty na tym samym łuku, co kąt wpisany o mierze $20^{\circ }$, ma miarę:

$2\cdot 20^{\circ }=40^{\circ }$

Rysunek pomocniczy:

Kąt środkowy oparty na tym samym łuku, co kąt wpisany $\alpha$, ma miarę:

$60^{\circ }+40^{\circ }=100^{\circ }$

Kąt wpisany ma miarę dwa razy mniejszą od miary kąta środkowego opartego na tym samym łuku, więc:

$\alpha =100^{\circ }:2=\boxed{50^{\circ }}$

---

f)

Kąty wpisane oparte na tym samym łuku mają równe miary.

Kąty wierzchołkowe mają równe miary.

Rysunek pomocniczy:

Suma miar kątów w trójkącie jest równa $180^{\circ }$, więc trzeci kąt trójkąta o kątach $30^{\circ }$ i $40^{\circ }$ ma miarę:

$180^{\circ }-30^{\circ }-40^{\circ }=180^{\circ }-70^{\circ }=110^{\circ }$

Rysunek pomocniczy:

Suma miar kątów w czworokącie jest równa $360^{\circ }$, więc:

$\alpha =360^{\circ }-40^{\circ }-110^{\circ }-110^{\circ }=360^{\circ }-260^{\circ }=\boxed{100^{\circ }}$