Rysunek pomocniczy:

Chcemy pokazać, że trójkąty $ACB$ i $ASD$ są podobne.

---

Proste $k$ i $l$ są styczne do okręgu, więc:

$\left|\sphericalangle CAS\right|=90^{\circ }$

$\left|\sphericalangle CBS\right|=90^{\circ }$

---

Zauważmy, że:

$\left|SA\right|=\left|SB\right|$ (promień okręgu)

Zatem trójkąt $ASB$ jest równoramienny.

A to oznacza, że:

$\left|\sphericalangle BAS\right|=\left|\sphericalangle ABS\right|=\alpha$

Rysunek pomocniczy:

---

Zauważmy, że:

$\left|\sphericalangle CAB\right|=\left|\sphericalangle CAS\right|-\left|\sphericalangle BAS\right|=90^{\circ }-\alpha$

$\left|\sphericalangle CBA\right|=\left|\sphericalangle CBS\right|-\left|\sphericalangle ABS\right|=90^{\circ }-\alpha$

Spójrzmy na trójkąt $ACB$.

Suma miar kątów w trójkącie jest równa $180^{\circ }$, więc:

$\left|\sphericalangle CAB\right|+\left|\sphericalangle CBA\right|+\left|\sphericalangle ACB\right|=180^{\circ }$

$90^{\circ }-\alpha +90^{\circ }-\alpha +\left|\sphericalangle ACB\right|=180^{\circ }$

$180^{\circ }-2\alpha +\left|\sphericalangle ACB\right|=180^{\circ }$

$\left|\sphericalangle ACB\right|=180^{\circ }-180^{\circ }+2\alpha$

$\left|\sphericalangle ACB\right|=2\alpha$

Rysunek pomocniczy:

---

Kąt wpisany oparty na średnicy jest kątem prostym, więc:

$\left|\sphericalangle BAD\right|=90^{\circ }$

Zauważmy, że:

$\left|\sphericalangle SAD\right|=\left|\sphericalangle BAD\right|-\left|\sphericalangle BAS\right|=90^{\circ }-\alpha$

Rysunek pomocniczy:

---

Zauważmy, że:

$\left|SA\right|=\left|SD\right|$ (promień okręgu)

Zatem trójkąt $ASD$ jest równoramienny.

A to oznacza, że:

$\left|\sphericalangle SDA\right|=\left|\sphericalangle SAD\right|=90^{\circ }-\alpha$

Suma miar kątów w trójkącie jest równa $180^{\circ }$, więc:

$\left|\sphericalangle SAD\right|+\left|\sphericalangle ASD\right|+\left|\sphericalangle SDA\right|=180^{\circ }$

$90^{\circ }-\alpha +\left|\sphericalangle ASD\right|+90^{\circ }-\alpha =180^{\circ }$

$180^{\circ }-2\alpha +\left|\sphericalangle ASD\right|=180^{\circ }$

$\left|\sphericalangle ASD\right|=180^{\circ }-180^{\circ }+2\alpha$

$\left|\sphericalangle ASD\right|=2\alpha$

Rysunek pomocniczy:

---

Trójkąty $ACB$ i $ASD$ są podobne z cechy kąt-kąt-kąt:

• $\left|\sphericalangle ACB\right|=\left|\sphericalangle ASD\right|=2\alpha$
• $\left|\sphericalangle CBA\right|=\left|\sphericalangle SDA\right|=90^{\circ }-\alpha$
• $\left|\sphericalangle CAB\right|=\left|\sphericalangle SAD\right|=90^{\circ }-\alpha$

Co należało wykazać.