Rysunek pomocniczy:

Przyjmijmy, że:

$R$ - promień okręgu opisanego na trójkącie $ABC$

$r$ - promień okręgu wpisanego w trójkąt $ABC$

---

Wysokość $CD$ trójkąta równoramiennego poprowadzona na jego podstawę dzieli trójkąt $ABC$ na dwa przystające trójkąty prostokątne $ADC$ i $BDC$, więc:

$\left|AD\right|=\left|BD\right|=\frac{\left|AB\right|}{2}=\frac{4}{2}=2$

---

Spójrzmy na trójkąt prostokątny $BDC$.

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa i otrzymujemy, że:

${\left|BD\right|}^2+{\left|CD\right|}^2={\left|BC\right|}^2$

$2^2+{\left|CD\right|}^2=7^2$

$4+{\left|CD\right|}^2=49$

${\left|CD\right|}^2=49-4$

${\left|CD\right|}^2=45$

Długości są dodatnie, więc:

$\left|CD\right|=\sqrt{45}$

$\left|CD\right|=\sqrt{9\cdot 5}$

$\left|CD\right|=3\sqrt{5}$

---

Zauważmy, że pole trójkąta $ABC$ możemy zapisać na kilka sposobów.

Pole trójkąta jest równe połowie iloczynu długości boku i wysokości opuszczonej na ten bok:

$P_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot \left|AB\right|\cdot \left|CD\right|=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 3\sqrt{5}=2\cdot 3\sqrt{5}=6\sqrt{5}$

Pole trójkąta jest równe iloczynowi połowy obwodu trójkąta i promienia okręgu wpisanego w trójkąt:

$P_{ABC}=\frac{\left|AB\right|+\left|BC\right|+\left|AC\right|}{2}\cdot r=\frac{4+7+7}{2}\cdot r=\frac{18}{2}\cdot r=9r$

Otrzymujemy, że:

$9r=6\sqrt{5}|:9$

$r=\frac{6\sqrt{5}}{9}$

$r=\frac{2\sqrt{5}}{3}$

Pole trójkąta o danych długościach boków i promieniu okręgu opisanego na tym trójkącie jest równe:

$P_{ABC}=\frac{\left|AB\right|\cdot \left|BC\right|\cdot \left|AC\right|}{4R}=\frac{4\cdot 7\cdot 7}{4R}=\frac{4\cdot 49}{4R}=\frac{49}{R}$

Otrzymujemy, że:

$6\sqrt{5}=\frac{49}{R}|\cdot R$

$6\sqrt{5}R=49|:6\sqrt{5}$

$R=\frac{49}{6\sqrt{5}}$

$R=\frac{49}{6\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

$R=\frac{49\sqrt{5}}{6\cdot 5}$

$R=\frac{49\sqrt{5}}{30}$

---

Obliczamy szukany stosunek promieni:

$\frac{R}{r}=\frac{\frac{49\sqrt{5}}{30}}{\frac{2\sqrt{5}}{3}}=\frac{49{\bcancel{\sqrt{5}}}^1}{{\cancel{30}}_{10}}\cdot \frac{{\cancel{3}}^1}{2{\bcancel{\sqrt{5}}}_1}=\frac{49}{20}=2\frac{9}{20}=2\frac{45}{100}=\boxed{2,45}$