a)

Rysunek pomocniczy:

Wiemy, że:

$\mathrm{tg}\alpha =0,6$

---

Stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta $\alpha$ do długości przyprostokątnej leżącej przy kącie $\alpha$ jest równy:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{a}{15}$

Zatem:

$\frac{a}{15}=0,6|\cdot 15$

$a=9$

---

Pole trójkąta prostokątnego jest równe połowie iloczynu długości jego przyprostokątnych:

$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot 15=\frac{1}{2}\cdot 9\cdot 15=4,5\cdot 15=\boxed{67,5}$

---

---

b)

Rysunek pomocniczy:

Wiemy, że:

$\sin \beta =\frac{2}{3}$

---

Stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta $\beta$ do długości przeciwprostokątnej jest równy:

$\sin \beta =\frac{10}{c}$

Zatem:

$\frac{2}{3}=\frac{10}{c}|\cdot c$

$\frac{2}{3}c=10|:\frac{2}{3}$

$c={\cancel{10}}^5\cdot \frac{3}{{\cancel{2}}_1}$

$c=15$

---

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa i otrzymujemy, że:

$a^2+10^2=c^2$

$a^2+10^2=15^2$

$a^2+100=225$

$a^2=225-100$

$a^2=125$

Długości są dodatnie, więc:

$a=\sqrt{125}$

$a=\sqrt{25\cdot 5}$

$a=5\sqrt{5}$

---

Pole trójkąta prostokątnego jest równe połowie iloczynu długości jego przyprostokątnych:

$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot 10=\frac{1}{{\cancel{2}}_1}\cdot 5\sqrt{5}\cdot {\cancel{10}}^5=\boxed{25\sqrt{5}}$

---

---

c)

Rysunek pomocniczy:

Wiemy, że:

$\cos \gamma =\frac{\sqrt{3}}{3}$

---

Stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie $\alpha$ do długości przeciwprostokątnej jest równy:

$\cos \gamma =\frac{a}{8\sqrt{6}}$

Zatem:

$\frac{a}{8\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{3}}{3}|\cdot 8\sqrt{6}$

$a=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot 8\sqrt{6}$

$a=\frac{8\sqrt{18}}{3}$

$a=\frac{8\sqrt{9\cdot 2}}{3}$

$a=\frac{8\cdot {\cancel{3}}^1\sqrt{2}}{{\cancel{3}}_1}$

$a=8\sqrt{2}$

---

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa i otrzymujemy, że:

$a^2+b^2={\left(8\sqrt{6}\right)}^2$

${\left(8\sqrt{2}\right)}^2+b^2={\left(8\sqrt{6}\right)}^2$

$64\cdot 2+b^2=64\cdot 6$

$128+b^2=384$

$b^2=384-128$

$b^2=256$

Długości są dodatnie, więc:

$b=\sqrt{256}$

$b=16$

---

Pole trójkąta prostokątnego jest równe połowie iloczynu długości jego przyprostokątnych:

$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b=\frac{1}{2}\cdot 8\sqrt{2}\cdot 16=4\sqrt{2}\cdot 16=\boxed{64\sqrt{2}}$