Jeśli $P\left(x,y\right)$ jest dowolnym punktem różnym od punktu $\left(0,0\right)$, który leży na ramieniu końcowym kąta $\alpha$, takim, że $0^{\circ }\le \alpha \le 180^{\circ }$, to: $\sin \alpha =\frac{y}{r}$, gdzie $r=\sqrt{x^2+y^2}$; $\cos \alpha =\frac{x}{r}$, gdzie $r=\sqrt{x^2+y^2}$; $\mathrm{tg}\alpha =\frac{y}{x}$, gdzie $x\ne 0$ (czyli $\alpha \ne 90^{\circ }$).

---

a)

Zauważmy, że wszystkie punkty leżą w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych.

Obliczymy dla nich $\sin \alpha$.

• Dany jest punkt $A\left(21,28\right)$.

Obliczamy:

$r=\sqrt{21^2+28^2}=\sqrt{441+784}=\sqrt{1225}=35$

$\sin \alpha =\frac{28}{35}=\frac{4}{5}=\frac{8}{10}=\boxed{0,8}$

Wszystko się zgadza.

• Dany jest punkt $B\left(4,3\right)$.

Obliczamy:

$r=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$

$\sin \alpha =\frac{3}{5}=\frac{6}{10}=0,6$

Zauważamy, że:

$0,6\ne 0,8$

• Dany jest punkt $C\left(10,8\right)$.

Obliczamy:

$r=\sqrt{10^2+8^2}=\sqrt{100+64}=\sqrt{164}=\sqrt{4\cdot 41}=2\sqrt{41}$

$\sin \alpha =\frac{8}{2\sqrt{41}}=\frac{4}{\sqrt{41}}=\frac{4}{\sqrt{41}}\cdot \frac{\sqrt{41}}{\sqrt{41}}=\frac{4\sqrt{41}}{41}$

Zauważamy, że:

$\frac{4\sqrt{41}}{41}\ne 0,8$

Odp. Punkt $A$.

---

b)

Zauważmy, że wszystkie punkty leżą w drugiej ćwiartce układu współrzędnych.

Obliczymy dla nich $\mathrm{tg}\alpha$.

• Dany jest punkt $A\left(-\sqrt{3},\sqrt{3}\right)$.

Obliczamy:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sqrt{3}}{-\sqrt{3}}=-1$

Zauważamy, że:

$-1\ne -\frac{1}{\sqrt{3}}$

• Dany jest punkt $B\left(-1,\sqrt{3}\right)$.

Obliczamy:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sqrt{3}}{-1}=-\sqrt{3}$

Zauważamy, że:

$-\sqrt{3}\ne -\frac{1}{\sqrt{3}}$

• Dany jest punkt $C\left(-3,\sqrt{3}\right)$.

Obliczamy:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sqrt{3}}{-3}=-\frac{\sqrt{3}}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}=\boxed{-\frac{1}{\sqrt{3}}}$

Wszystko się zgadza.

Odp. Punkt $C$.

---

c)

Zauważmy, że wszystkie punkty leżą w drugiej ćwiartce układu współrzędnych.

Obliczymy dla nich $\cos \alpha$.

• Dany jest punkt $A\left(-51,68\right)$.

Obliczamy:

$r=\sqrt{{\left(-51\right)}^2+68^2}=\sqrt{2601+4624}=\sqrt{7225}=85$

$\cos \alpha =\frac{-51}{85}=\frac{-3}{5}=-\frac{6}{10}=\boxed{-0,6}$

Wszystko się zgadza.

• Dany jest punkt $B\left(-1\frac{1}{2},2\right)$.

Obliczamy:

$r=\sqrt{{\left(-1\frac{1}{2}\right)}^2+2^2}=\sqrt{{\left(-\frac{3}{2}\right)}^2+4}=\sqrt{\frac{9}{4}+4}=\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{16}{4}}=\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}$

$\cos \alpha =\frac{-1\frac{1}{2}}{\frac{5}{2}}=-1\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{5}=-\frac{3}{{\cancel{2}}_1}\cdot \frac{{\cancel{2}}^1}{5}=-\frac{3}{5}=-\frac{6}{10}=\boxed{-0,6}$

Wszystko się zgadza.

• Dany jest punkt $C\left(-\frac{1}{4},\frac{1}{3}\right)$.

Obliczamy:

$r=\sqrt{{\left(-\frac{1}{4}\right)}^2+{\left(\frac{1}{3}\right)}^2}=\sqrt{\frac{1}{16}+\frac{1}{9}}=\sqrt{\frac{9}{144}+\frac{16}{144}}=\sqrt{\frac{25}{144}}=\frac{5}{12}$

$\cos \alpha =\frac{-\frac{1}{4}}{\frac{5}{12}}=-\frac{1}{{\cancel{4}}_1}\cdot \frac{{\cancel{12}}^3}{5}=-\frac{3}{5}=-\frac{6}{10}=\boxed{-0,6}$

Wszystko się zgadza.

Odp. Punkty $A$, $B$, $C$.