W tym zadaniu korzystamy z rysunków w książce.

---

Przyjmijmy, że:

$c$ - długość przeciwprostokątnej

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa i otrzymujemy, że:

$c^2=1^2+{\left(2\sqrt{2}\right)}^2$

$c^2=1+4\cdot 2$

$c^2=1+8$

$c^2=9$

Długości są dodatnie, więc:

$c=\sqrt{9}$

$c=3$

Stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta $\alpha$ do długości przeciwprostokątnej jest równy:

$\sin \alpha =\boxed{\frac{2\sqrt{2}}{3}}$

Stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie $\alpha$ do długości przeciwprostokątnej jest równy:

$\cos \alpha =\boxed{\frac{1}{3}}$

Stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta $\alpha$ do długości przyprostokątnej leżącej przy kącie $\alpha$ jest równy:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{2\sqrt{2}}{1}=\boxed{2\sqrt{2}}$

---

Przyjmijmy, że:

$a$ - długość przyprostokątnej leżącej przy kącie $\beta$

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa i otrzymujemy, że:

$a^2+{\left(\sqrt{7}\right)}^2=4^2$

$a^2+7=16$

$a^2=16-7$

$a^2=9$

Długości są dodatnie, więc:

$a=\sqrt{9}$

$a=3$

Stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta $\beta$ do długości przeciwprostokątnej jest równy:

$\sin \beta =\boxed{\frac{\sqrt{7}}{4}}$

Stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie $\beta$ do długości przeciwprostokątnej jest równy:

$\cos \beta =\boxed{\frac{3}{4}}$

Stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta $\beta$ do długości przyprostokątnej leżącej przy kącie $\beta$ jest równy:

$\mathrm{tg}\beta =\boxed{\frac{\sqrt{7}}{3}}$

---

Przyjmijmy, że:

$x$ - długość przeciwprostokątnej

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa i otrzymujemy, że:

$x^2={\left(\sqrt{5}\right)}^2+{\left(\sqrt{11}\right)}^2$

$x^2=5+11$

$x^2=16$

Długości są dodatnie, więc:

$x=\sqrt{16}$

$x=4$

Stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta $\gamma$ do długości przeciwprostokątnej jest równy:

$\sin \gamma =\boxed{\frac{\sqrt{11}}{4}}$

Stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie $\gamma$ do długości przeciwprostokątnej jest równy:

$\cos \gamma =\boxed{\frac{\sqrt{5}}{4}}$

Stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta $\gamma$ do długości przyprostokątnej leżącej przy kącie $\gamma$ jest równy:

$\mathrm{tg}\gamma =\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\boxed{\frac{\sqrt{55}}{5}}$