Mamy:

$\sin \alpha +\cos \alpha =\frac{7}{5}$

Podnosimy obie strony równania do kwadratu:

${\left(\sin \alpha +\cos \alpha \right)}^2={\left(\frac{7}{5}\right)}^2$

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy ${\left(a+b\right)}^2=a^2+2ab+b^2$:

${\sin }^2\alpha +2\sin \alpha \cos \alpha +{\cos }^2\alpha =\frac{49}{25}$

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej:

$1+2\sin \alpha \cos \alpha =\frac{49}{25}$

$2\sin \alpha \cos \alpha =\frac{49}{25}-1$

$2\sin \alpha \cos \alpha =\frac{49}{25}-\frac{25}{25}$

$2\sin \alpha \cos \alpha =\frac{24}{25}|:2$

$\sin \alpha \cos \alpha =\frac{{\cancel{24}}^{12}}{25}\cdot \frac{1}{{\cancel{2}}_1}$

$\sin \alpha \cos \alpha =\boxed{\frac{12}{25}}$