W trójkącie równoramiennym kąty leżące przy podstawie mają taką samą miarę.

Rysunek pomocniczy:

Chcemy obliczyć $P_{ADC}$ i $P_{DBC}$.

Możemy zauważyć, że:

$P_{ABC}=P_{ADC}+P_{DBC}$

---

Spójrzmy na trójkąt $ABC$.

Suma miar kątów w trójkącie jest równa $180^{\circ }$, więc:

$\left|\sphericalangle ACB\right|=180^{\circ }-2\cdot 45^{\circ }=180^{\circ }-90^{\circ }=90^{\circ }$

Trójkąt $ABC$ jest trójkątem prostokątnym.

Pole trójkąta prostokątnego jest równe połowie iloczynu długości jego przyprostokątnych:

$P_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 12=6\cdot 12=72$

---

Zauważmy, że skoro kąt $ACB$ ma miarę $90^{\circ }$, to:

$2\alpha +\alpha =90^{\circ }$

$3\alpha =90^{\circ }|:3$

$\alpha =30^{\circ }$

Czyli:

$2\alpha =2\cdot 30^{\circ }=60^{\circ }$

---

Pole trójkąta jest równe połowie iloczynu długości dwóch jego boków i sinusa kąta między tymi bokami:

$P_{ADC}=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot \left|CD\right|\cdot \sin 60^{\circ }={\cancel{6}}^3\cdot \left|CD\right|\cdot \frac{\sqrt{3}}{{\cancel{2}}_1}=3\sqrt{3}\cdot \left|CD\right|$

$P_{DBC}=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot \left|CD\right|\cdot \sin 30^{\circ }=6\cdot \left|CD\right|\cdot \frac{1}{2}=3\cdot \left|CD\right|$

Możemy zauważyć, że:

$\frac{P_{ADC}}{P_{DBC}}=\frac{3\sqrt{3}\cdot \left|CD\right|}{3\cdot \left|CD\right|}$

$\frac{P_{ADC}}{P_{DBC}}=\sqrt{3}$

Czyli:

$P_{ADC}=\sqrt{3}\cdot P_{DBC}$

---

Otrzymujemy, że:

$P_{ADC}+P_{DBC}=P_{ABC}$

$\sqrt{3}\cdot P_{DBC}+P_{DBC}=72$

$\left(\sqrt{3}+1\right)\cdot P_{DBC}=72$

Stąd:

$P_{DBC}=\frac{72}{\sqrt{3}+1}$

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów, aby usunąć niewymierność z mianownika:

$\frac{72}{\sqrt{3}+1}=\frac{72}{\sqrt{3}+1}\cdot \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1}=\frac{72\left(\sqrt{3}-1\right)}{{\left(\sqrt{3}\right)}^2-1^2}=\frac{72\left(\sqrt{3}-1\right)}{3-1}=\frac{72\left(\sqrt{3}-1\right)}{2}=36\left(\sqrt{3}-1\right)$

Pole jednego trójkąta jest więc równe:

$P_{DBC}=\boxed{36\left(\sqrt{3}-1\right)}$

---

Obliczamy pole drugiego trójkąta:

$P_{ADC}=\sqrt{3}\cdot P_{DBC}=\sqrt{3}\cdot 36\left(\sqrt{3}-1\right)=36\cdot \sqrt{3}\left(\sqrt{3}-1\right)=\boxed{36\left(3-\sqrt{3}\right)}$