Pierwsze zdanie

Wiemy, że:

$\alpha \in \left(90^{\circ };180^{\circ }\right)$

$\sin \alpha =\frac{4}{5}$

Aby wyznaczyć $\cos \alpha$, korzystamy z jedynki trygonometrycznej:

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

${\left(\frac{4}{5}\right)}^2+{\cos }^2\alpha =1$

$\frac{16}{25}+{\cos }^2\alpha =1$

${\cos }^2\alpha =1-\frac{16}{25}$

${\cos }^2\alpha =\frac{9}{25}$

Wiemy, że dla $\alpha \in \left(90^{\circ };180^{\circ }\right)$ cosinus jest ujemny, więc:

$\cos \alpha =-\sqrt{\frac{9}{25}}$

$\cos \alpha =-\frac{3}{5}$

Zatem zdanie jest prawdziwe.

---

Drugie zdanie

Aby wyznaczyć $\mathrm{tg}\alpha$, korzystamy z zależności:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$

Z treści zadania wiemy, że:

$\sin \alpha =\frac{4}{5}$

A z obliczeń przeprowadzonych przy ocenie prawdziwości pierwszego zdania, że:

$\cos \alpha =-\frac{3}{5}$

Zatem:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}}=\frac{4}{{\cancel{5}}_1}\cdot \left(-\frac{{\cancel{5}}^1}{3}\right)=-\frac{4}{3}$

Otrzymujemy, że:

$\left|\mathrm{tg}\alpha \right|=\left|-\frac{4}{3}\right|=\frac{4}{3}$

Zauważamy, że:

$\frac{4}{3}\ne \frac{3}{4}$

Zatem zdanie jest fałszywe.

---

Odp. PF.